[论文解读] A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals, with an application to lookback options

Alfred Galichon, Pierre Henri-Labordère+1 more|Sciences Po publications|Jan 16, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于随机控制的对偶框架，用于在仅知标的资产到期时的边缘分布时，计算衍生品价格的鲁棒无套利边界。通过将超对冲问题表述为连续鞅最优传输问题，该方法避免了经典Skorohod嵌入方法的时间变换不变性限制，并实现了数值近似；它将看涨期权的Azéma-Yor解作为特例恢复出来。

ABSTRACT

We consider the problem of superhedging under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset, and statically trade European call options for all possible strikes with some given maturity. This problem is classically approached by means of the Skorohod Embedding Problem (SEP). Instead, we provide a dual formulation which converts the superhedging problem into a continuous martingale optimal transportation problem. We then show that this formulation allows us to recover previously known results about lookback options. In particular, our methodology induces a new proof of the optimality of Azéma-Yor solution of the SEP for a certain class of lookback options. Unlike the SEP technique, our approach applies to a large class of exotics and is suitable for numerical approximation techniques.

研究动机与目标

• 在仅知标的资产到期时的边际分布时，开发一种在波动率不确定条件下的鲁棒超对冲框架。
• 克服Skorohod嵌入问题（SEP）的局限性，后者要求收益在时间变换下不变，从而限制了其在特定奇异衍生品中的适用性。
• 建立一种对偶公式，通过连续鞅过程将鲁棒超对冲与最优传输理论联系起来。
• 通过所提出的对偶框架，实现无套利边界的数值近似，扩展至解析解无法覆盖的范围。
• 利用所提出的框架重新推导并提供Azéma-Yor解在看涨期权中的最优性新证明。

提出的方法

• 借鉴Benamou-Brenier和Villani的工作，使用Kantorovich对偶性，将鲁棒超对冲问题表述为对偶最优控制问题。
• 定义动态价值过程 $ V_t(\omega) = \sup_{P \in P_t^\infty} E^P_\omega[\xi] $，表示在时间 $ t $ 的最小超对冲成本，该过程在每个概率测度下均为右连续半鞅。
• 对 $ V_t $ 应用Doob-Meyer分解，得到 $ V_t = V_0 + \int_0^t \hat{H}_s dB_s - K^P_t $，其中 $ \hat{H} $ 为最优控制，$ K^P $ 为非减补偿过程。
• 证明过程 $ X^{\hat{H}} = V_0 + \int_0^\cdot \hat{H}_s dB_s $ 在所有 $ P \in P^\infty_\infty $ 下为鞅，且 $ X^{\hat{H}}_T \geq \xi $，从而推出 $ V_0 \geq \sup_P E^P[\xi] $。
• 利用最小性条件 $ \inf_P E^P[K^P_T] = 0 $ 确保对冲策略的最优性，且对偶间隙为零。
• 将该框架应用于看涨期权，通过对偶公式恢复Azéma-Yor解作为最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种基于对偶的随机控制框架，以计算鲁棒无套利边界，而无需依赖Skorohod嵌入问题？
• RQ2 所提出的对偶公式是否允许在更广泛的奇异衍生品类别中实现超对冲成本的数值近似？
• RQ3 能否利用该新对偶框架重新推导并证明看涨期权的Azéma-Yor解的最优性？
• RQ4 动态价值过程 $ V_t $ 在连接超对冲问题与最优传输及随机控制之间起到什么作用？
• RQ5 对补偿过程 $ K^P $ 的最小性条件如何确保在对偶公式中对冲策略的最优性？

主要发现

• 所提出的对偶公式将鲁棒超对冲问题转化为连续鞅最优传输问题，从而在不依赖Skorohod嵌入方法所需的时间变换不变性条件下，开辟了新的解类。
• 证明了在 $ P^\infty_\infty $ 中每个概率测度下，动态价值过程 $ V_t $ 均为右连续半鞅，从而保证了Doob-Meyer分解的存在性。
• 由价值过程的二次变差导出的最优控制 $ \hat{H} $ 定义了一种在所有相关测度下为鞅的超复制对冲策略。
• 对偶间隙为零：$ V_0 = \sup_P E^P[\xi] $，证实了对偶公式能精确给出鲁棒超对冲成本。
• 对于看涨期权，该框架重现了Azéma-Yor解作为最优解，提供了其最优性的新证明，且无需依赖时间变换的布朗运动。
• 该方法具有数值可处理性，其与Bonnans和Tan [5] 以及Tan和Touzi [38] 等近似技术的兼容性已得到验证。