[论文解读] A strong restricted isometry property, with an application to phaseless compressed sensing

Vladislav Voroninski, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文引入了强限制等距性质（SRIP），以通过 $\varepsilon$-范数最小化实现从相位无关压缩感知测量中对 $k$-稀疏信号的精确恢复。证明了具有 $O(k\log(n/k))$ 测量值的随机高斯矩阵以高概率满足 SRIP，从而确保在 $|Ax| = |Ax_0|$ 约束下对 $\ell_1$ 最小化可恢复 $x_0$ 的全局符号，将标准压缩感知扩展至相位无关场景。

ABSTRACT

The many variants of the restricted isometry property (RIP) have proven to be crucial theoretical tools in the fields of compressed sensing and matrix completion. The study of extending compressed sensing to accommodate phaseless measurements naturally motivates a strong notion of restricted isometry property (SRIP), which we develop in this paper. We show that if $A \in \mathbb{R}^{m imes n}$ satisfies SRIP and phaseless measurements $|Ax_0| = b$ are observed about a $k$-sparse signal $x_0 \in \mathbb{R}^n$, then minimizing the $\ell_1$ norm subject to $ |Ax| = b $ recovers $x_0$ up to multiplication by a global sign. Moreover, we establish that the SRIP holds for the random Gaussian matrices typically used for standard compressed sensing, implying that phaseless compressed sensing is possible from $O(k \log (n/k))$ measurements with these matrices via $\ell_1$ minimization over $|Ax| = b$. Our analysis also yields an erasure robust version of the Johnson-Lindenstrauss Lemma.

研究动机与目标

• 为相位无关压缩感知设计一种强限制等距性质（SRIP），其中仅可获得幅度测量值 $|Ax_0|$。
• 建立在约束 $|Ax| = |Ax_0|$ 下最小化 $\ell_1$-范数可恢复原始 $k$-稀疏信号 $x_0$ 的全局符号的条件。
• 证明具有 $m = O(k\log(n/k))$ 测量值的随机高斯矩阵以高概率满足 SRIP，从而实现高效且可证明的精确恢复。
• 作为分析的副产品，推导出一种抗擦除的 Johnson-Lindenstrauss 引理。

提出的方法

• 将强限制等距性质（SRIP）引入为标准 RIP 的更强变体，要求 $A$ 的所有足够大的子矩阵均以紧密范围保持稀疏向量的 $\ell_2$-范数。
• 证明若 $A$ 满足参数为 $\theta_-, \theta_+$ 的 $k$ 阶 SRIP，则在约束 $|Ax| = |Ax_0|$ 下对 $\ell_1$ 最小化可恢复 $x_0$ 的全局符号。
• 利用测度集中不等式和尾部概率界，证明 $m \times n$ 高斯矩阵在 $m = O(k\log(n/k))$ 时以高概率满足 SRIP。
• 分析满足 $Ax = b_\epsilon$ 有解的符号模式 $\epsilon \in \{1,-1\}^m$ 的结构，并证明在 SRIP 条件下，仅 $x = \pm x_0$ 可实现最小 $\ell_1$-范数。
• 利用已知的在标准 RIP 条件下 $\ell_1$-最小化的结论，通过子矩阵分析和符号一致性，将其扩展至相位无关场景。
• 推导出一种抗擦除的 Johnson-Lindenstrauss 引理，表明即使擦除一定比例的坐标，维度压缩仍能近似保持距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非凸约束集 $|Ax| = |Ax_0|$ 下，$\ell_1$ 最小化能否从相位无关测量中精确恢复 $k$-稀疏信号 $x_0$？
• RQ2 在相位无关压缩感知中，为保证精确恢复，需要比标准 RIP 更强的等距条件是什么？
• RQ3 具有 $O(k\log(n/k))$ 测量值的随机高斯矩阵是否以高概率满足此更强条件？
• RQ4 Johnson-Lindenstrauss 引理能否被强化，使其在随机坐标擦除下依然成立？
• RQ5 是否可以将相位无关恢复框架扩展至复值信号，且保持相同的测量复杂度？

主要发现

• 强限制等距性质（SRIP）确保：若 $A$ 满足适当参数 $\theta_-, \theta_+$ 的 $k$ 阶 SRIP，则在 $|Ax| = |Ax_0|$ 约束下对 $\ell_1$ 最小化可恢复 $x_0$ 的全局符号。
• 具有 $m = O(k\log(n/k))$ 测量值的随机 $m \times n$ 高斯矩阵以高概率满足 $k$ 阶 SRIP，从而可实现从 $O(k\log(n/k))$ 相位无关测量中可证明的恢复。
• 分析导出了 Johnson-Lindenstrauss 引理的一种抗擦除版本，其中维度压缩即使在擦除正比例坐标后仍能保持距离。
• 对于任意 $k$-稀疏信号 $x_0$，当 $A$ 为具有 $m = O(k\log(n/k))$ 测量值的高斯矩阵时，$\min \|x\|_1 \text{ s.t. } |Ax| = |Ax_0|$ 的解为 $x = \pm x_0$ 的概率很高。
• 该证明依赖于：对任意符号模式 $\epsilon$，方程 $Ax = b_\epsilon$ 的解 $x_\epsilon$ 满足 $\|x_\epsilon\|_1 \geq \|x_0\|_1$，且等式成立仅当 $x_\epsilon = \pm x_0$，在 SRIP 条件下成立。
• 该结果表明，在 SRIP 条件下，相位无关压缩感知可实现与标准压缩感知相同的 $O(k\log(n/k))$ 测量复杂度。