[论文解读] On Conditions for Uniqueness in Sparse Phase Retrieval

Henrik Ohlsson, Yonina C. Eldar|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文建立了从无相位测量中唯一恢复稀疏信号的条件，表明当测量向量可自由选择时，4k−1个强度测量足以恢复k-稀疏实信号。对于傅里叶幅度测量，证明在较弱条件下，2(k²−k+1)个测量即可保证唯一性，优于以往需要完整傅里叶集合的研究结果。

ABSTRACT

The phase retrieval problem has a long history and is an important problem in many areas of optics. Theoretical understanding of phase retrieval is still limited and fundamental questions such as uniqueness and stability of the recovered solution are not yet fully understood. This paper provides several additions to the theoretical understanding of sparse phase retrieval. In particular we show that if the measurement ensemble can be chosen freely, as few as 4k-1 phaseless measurements suffice to guarantee uniqueness of a k-sparse M-dimensional real solution. We also prove that 2(k^2-k+1) Fourier magnitude measurements are sufficient under rather general conditions.

研究动机与目标

• 刻画稀疏相位重建在何种条件下可实现唯一解。
• 确定唯一恢复k-稀疏实信号所需的最少无相位测量数量。
• 建立从傅里叶幅度测量（FMMs）中唯一恢复的充分条件，尤其在无法获得完整傅里叶变换时。
• 将补集性质框架扩展至稀疏信号，表明在稀疏情况下，较弱的条件已足够保证唯一性。

提出的方法

• 提出补集性质的弱化版本，作为稀疏相位重建中单射性的充分条件。
• 将相位重建问题转化为从部分傅里叶幅度测量中恢复稀疏自相关向量的问题。
• 利用压缩感知理论表明，若测量数N满足N ≥ 2(k²−k+1)且N为素数，则稀疏自相关可被唯一恢复。
• 应用维纳-辛钦定理，将傅里叶幅度测量与信号自相关联系起来。
• 对信号结构施加约束——特别是非零分量无碰撞或k≠6——以确保能从自相关中唯一恢复。
• 分析k-稀疏信号自相关结构，表明其最多为(k²−k+1)-稀疏且具有中心对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 保证唯一恢复k-稀疏实信号所需的最少无相位测量数量是多少？
• RQ2 在稀疏信号中，补集性质能否被弱化，同时仍能保证相位重建中的单射性？
• RQ3 在何种条件下，傅里叶幅度测量能唯一确定一个k-稀疏信号？
• RQ4 稀疏信号支持中重复值（碰撞）的存在如何影响基于傅里叶的相位重建中的唯一性？
• RQ5 部分傅里叶幅度测量（少于M个）是否仍能保证稀疏信号的唯一恢复？

主要发现

• 当测量向量可自由选择时，4k−1个无相位测量足以保证唯一恢复k-稀疏M维实信号。
• 对于傅里叶幅度测量，若N为素数且大于2(k²−k+1)，则2(k²−k+1)个测量足以保证k-稀疏实信号的唯一恢复。
• 若信号无碰撞（无重复的非零振幅）或稀疏度k≠6，则可保证唯一恢复。
• k-稀疏信号的自相关最多为(k²−k+1)-稀疏，因此可通过压缩感知技术实现恢复。
• 该结果优于以往工作，表明无需完整傅里叶集合（M个测量）——在较弱条件下，部分FMMs已足够。
• 理论框架将补集性质扩展至稀疏信号，表明在稀疏情况下，较弱条件已足够保证单射性。