[论文解读] A Study of Fatou Set, Julia set and Escaping Set in Nearly Abelian Transcendental Semigroup

Bishnu Hari Subedi, Ajaya Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了近乎阿贝尔的超越半群作为阿贝尔半群的推广，并证明了在这样的半群下，Fatou集、Julia集和逃离集完全不变。主要贡献是针对有限型或有界型的近乎阿贝尔半群，建立了无游动域定理，并对周期性Fatou分支进行了完整分类：吸引型、超吸引型、抛物型、Siegel型或Baker型域。

ABSTRACT

We mainly generalize the notion of abelian transcendental semigroup to nearly abelian transcendental semigroup. We prove that Fatou set, Julia set and escaping set of nearly abelian transcendental semigroup are completely invariant. We investigate no wandering domain theorem in such a transcendental semigroup. We also obtain results on a complete generalization of the classification of periodic Fatou components.

研究动机与目标

• 将阿贝尔超越半群推广为近乎阿贝尔半群，同时保持关键动力学不变量。
• 建立近乎阿贝尔半群下Fatou集、Julia集和逃离集的完全不变性。
• 证明在有限型或有界型的近乎阿贝尔超越半群中，不存在游动域。
• 将近乎阿贝尔半群中的周期性Fatou分支分类为标准类型：吸引型、超吸引型、抛物型、Siegel型或Baker型。
• 将经典关于奇点值和分支连通性的结果推广至半群设定，特别是针对有界型半群。

提出的方法

• 将近乎阿贝尔超越半群定义为生成元在有限阶扰动下彼此交换的半群，从而推广阿贝尔半群。
• 利用关键结果：对任意近乎阿贝尔半群 $ S $，有 $ F(S) = F(f) $ 对所有 $ f o S $ 成立，从而实现从单个函数到半群的动力学性质转移。
• 应用已知的正规族与半群动力学定理，特别是Eremenko-Lyubich类和Speiser类的结果，分析Fatou集与Julia集。
• 利用余有限指数子半群的概念，研究Fatou分支的前向轨道，以稳定其分类。
• 利用奇点值（临界值与渐近值）的结构及其迭代行为，证明有界Fatou分支不包含渐近值。
• 通过等式 $ F(S) = F(f) $，将经典单个超越函数的分类定理（例如来自[13]）推广至半群设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，超越半群会满足无游动域定理？
• RQ2 Fatou集、Julia集和逃离集在近乎阿贝尔半群下如何表现？
• RQ3 经典动力学中周期性Fatou分支的分类能否推广至近乎阿贝尔超越半群？
• RQ4 单个生成元的奇点值与整个半群的Fatou集之间存在何种关系？
• RQ5 在有界型半群中Baker域的缺失是否可推广至近乎阿贝尔设定？

主要发现

• 近乎阿贝尔超越半群的Fatou集、Julia集和逃离集在半群中任意元素的作用下完全不变。
• 对任意有限型或有界型的近乎阿贝尔超越半群 $ S $，有 $ F(S) = F(f) $ 对所有 $ f o S $ 成立，这意味着半群继承了任一单个生成元的动力学结构。
• 该半群 $ S $ 不存在游动域，这是通过将Speiser类或Eremenko-Lyubich类中单个函数的无游动域结果转移而来。
• Fatou集 $ F(S) $ 的所有分支均为单连通分支，因为 $ F(S) = F(f) $，且对有界型函数 $ f $，其 $ F(f) $ 的所有分支均为单连通。
• 若所有稳定Fatou分支均为有界，则 $ F(S) $ 不包含渐近值，因为该性质继承自有界型类中的单个生成元。
• 半群 $ S $ 的周期性Fatou分支被分类为吸引型、超吸引型、抛物型、Siegel型或Baker型，且在有界型半群中Baker域被排除。