[论文解读] A sufficient condition to a regular set of positive measure on RCD spaces

Yu Kitabeppu|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文建立了 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中正测度的正则集的充分条件：若维度 $k = [N]$ 的正则集 $\fancyscript{R}_k$ 非空，则其测度为正。关键贡献在于将 $\textsf{RCD}$ 空间的维数定义为使 $\fancyscript{R}_k$ 非空的最大 $k$，并证明了该维数在 pointed Gromov-Hausdorff 收敛下具有下半连续性。

ABSTRACT

In this paper, we study regular sets in metric measure spaces with bounded Ricci curvature. We prove that the existence of a point in the regular set of the highest dimension implies the positivity of the measure of such regular set. Also we define thee dimension of metric measure spaces and prove the lower semicontinuity of that under the Gromov-Hausdorff convergence.

研究动机与目标

• 解决度量测度几何中的一个基本开放问题：在 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中，最大维数的正则集是否具有正测度。
• 基于使 $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ 的最大 $k$，为 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间定义一个自然的维数概念，扩展了 Ricci 极限空间中的相关概念。
• 在 pointed Gromov-Hausdorff 收敛下建立该维数的下半连续性，这是关键的稳定性性质。
• 通过最优传输技术，将 $\textsf{RCD}$ 空间上的几何分析与 Ricci 极限空间的现有理论及基于 $L^2$-截面的解析维数理论相连接。

提出的方法

• 使用正则集 $\fancyscript{R}_k$ 的概念，其定义为所有切锥同胚于 $\fancyscript{R}^k$ 的点，并研究其在 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中的测度性质。
• 应用测试函数的 $L^2$-强收敛理论与 Cheeger 能量，分析 Dirichlet 能量在收敛下的行为。
• 利用 Bishop-Gromov 不等式，确保在 Gromov-Hausdorff 收敛下球上的测度收敛。
• 利用能量测度 $\fancyscript{Ch}_{(x,r)}(f)$ 的收敛性以及函数的 $\fancyscript{L}^2$-强收敛，将正则性从极限空间提升至逼近序列。
• 应用 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 条件在 pointed Gromov-Hausdorff 收敛下的稳定性，将几何性质从极限空间传递至逼近序列。
• 依赖于存在一组 $k$ 个函数，其在能量形式中具有近乎正交的梯度，从而蕴含存在 $k$-维切结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中，若存在维度为 $k = [N]$ 的正则集 $\fancyscript{R}_k$，是否意味着 $m(\fancyscript{R}_k) > 0$？
• RQ2 能否将 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间的维数一致地定义为使 $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ 的最大 $k$？
• RQ3 在 pointed Gromov-Hausdorff 收敛下，$\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间的维数是否具有下半连续性？
• RQ4 通过正则集定义的维数与通过 $L^2$-截面定义的解析维数（即余切丛的 $L^2$-截面）有何关系？

主要发现

• 若在 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中 $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ 对于 $k = [N]$，则 $m(\fancyscript{R}_k) > 0$，这为最大正则集的正测度提供了充分条件。
• 该 $\textsf{RCD}^*(K,N)$ 空间的维数被良好定义为使 $\fancyscript{R}_k \neq \emptyset$ 的最大 $k$，且该定义与使 $m(\fancyscript{R}_k) > 0$ 的最大 $k$ 一致。
• 该维数在 pointed Gromov-Hausdorff 收敛下具有下半连续性：$\textsf{dim}(X_\fancyscript{infty}) \leq \liminf_{n \to \infty} \textsf{dim}(X_n)$。
• 该结果表明，若 $N \in \mathbb{N}$，则 $\textsf{dim}(X,d,m) = N-1$ 当且仅当 Hausdorff 维数 $\textsf{dim}_H(X,d) = N-1$，结合了 De Philippis 与 Gigli 的结果。
• 此处定义的几何维数与 Han 通过余切丛的 $L^2$-截面所定义的解析维数等价，如 [GPequiv] 中的等价性结果所示。
• 证明表明，若极限空间的维数为 $k$，则对充分大的 $n$，逼近空间 $X_n$ 的维数也至少为 $k$，这是由于正测度正则集的持久性所致。