[论文解读] A superconvergent HDG method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on general polyhedral meshes

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于在一般多面体网格上求解稳态不可压缩Navier-Stokes方程的超收敛混合间断伽辽金（HDG）方法。采用$ k+1 $次多项式表示速度，$ k $次多项式表示速度梯度和压力，$ k $次多项式表示单元界面处的速度数值迹，该方法在小数据条件下，对所有变量均实现了$ L^2 $范数下$ k+1 $阶的最优收敛率，且当$ k \geq 1 $时，速度在$ L^2 $范数下实现了$ k+2 $阶的超收敛，且无需后处理。

ABSTRACT

We present a superconvergent hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the steady-state incompressible Navier-Stokes equations on general polyhedral meshes. For arbitrary conforming polyhedral mesh, we use polynomials of degree k+1, k, k to approximate the velocity, velocity gradient and pressure, respectively. In contrast, we only use polynomials of degree k to approximate the numerical trace of the velocity on the interfaces. Since the numerical trace of the velocity field is the only globally coupled unknown, this scheme allows a very efficient implementation of the method. For the stationary case, and under the usual smallness condition for the source term, we prove that the method is well defined and that the global L2-norm of the error in each of the above-mentioned variables and the discrete H1-norm of the error in the velocity converge with the order of k+1 for k>=0. We also show that for k>=1, the global L2-norm of the error in velocity converges with the order of k+2. From the point of view of degrees of freedom of the globally coupled unknown: numerical trace, this method achieves optimal convergence for all the above-mentioned variables in L2-norm for k>=0, superconvergence for the velocity in the discrete H1-norm without postprocessing for k>=0, and superconvergence for the velocity in L2-norm without postprocessing for k>=1.

研究动机与目标

• 开发一种在一般多面体网格上求解不可压缩Navier-Stokes方程的高阶、高效HDG方法。
• 在不进行后处理的情况下，实现速度在$ L^2 $范数和离散$ H^1 $范数下的超收敛。
• 在最小正则性假设下，确保所有变量——速度、速度梯度、压力和数值迹——均达到最优收敛率。
• 将HDG方法的适用范围扩展至一般多面体单元，包括非凸单元，同时保持高阶精度。

提出的方法

• 该方法使用$ k+1 $次多项式表示速度，$ k $次多项式表示速度梯度和压力，$ k $次多项式表示单元界面处的速度数值迹。
• 引入一种改进的数值通量以增强稳定性和收敛特性。
• 通过利用速度和数值迹进行局部单元内求解，重构速度梯度。
• 通过仅在网格骨架上通过数值迹耦合未知量的混合弱形式来构建格式。
• 通过仅将数值迹作为唯一全局耦合变量求解，最小化全局耦合，从而实现高效的求解过程。
• 该方法采用小数据条件，以确保在给定多项式逼近下的适定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般多面体网格上为不可压缩Navier-Stokes方程构造一种超收敛HDG方法？
• RQ2 当速度逼近空间提升至$ k+1 $次，而其他变量保持$ k $次时，是否能获得最优及超收敛的收敛率？
• RQ3 对于$ k \geq 1 $，该方法能否在不进行后处理的情况下实现速度在$ L^2 $-范数下的超收敛？
• RQ4 在一般多面体网格上，当源项满足小量条件时，该方法是否适定且收敛？

主要发现

• 对所有$ k \geq 0 $，速度、速度梯度、压力和数值迹在$ L^2 $-范数下均实现了$ k+1 $阶的最优收敛率。
• 当$ k \geq 1 $时，速度的$ L^2 $-范数误差以$ k+2 $阶收敛，表明无需后处理即可实现超收敛。
• 当$ k \geq 0 $时，速度在离散$ H^1 $-范数下的误差以$ k+1 $阶收敛，表明无需后处理即可实现超收敛。
• 在任意符合多面体网格的条件下，该方法在源项满足标准小量条件时是适定且收敛的。
• 该分析适用于形状规则的、可能非凸的多面体单元，将HDG方法的适用范围扩展至一般网格。