[论文解读] A survey around the Hodge, Tate and Mumford-Tate conjectures for abelian varieties

Victoria Cantoral‐Farfán|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本综述对阿贝尔簇的霍奇、塔特和芒福德-塔特猜想提供了全面概述，阐明了它们之间的相互联系，并总结了已知结果。它表明，芒福德-塔特猜想与霍奇猜想的合取可推出数域上阿贝尔簇的塔特猜想，为算术几何中这些核心猜想提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

This survey describe Hodge, Tate and Mumford-Tate conjectures for abelian varieties. After some preliminaries on endomorphism ring, polarization and algebraic cycles, we state the three conjectures and provide a list of know results. Finally, we explain some links between these conjectures.

研究动机与目标

• 对阿贝尔簇特别地综合并澄清霍奇、塔特和芒福德-塔特猜想。
• 解释这些猜想之间的深刻类比，尤其是伽罗瓦群与霍奇群在上同调不变量中的作用。
• 总结已知结果及这些猜想成立的条件，尤其是低维或特殊类型的阿贝尔簇。
• 建立数域上阿贝尔簇的塔特猜想与芒福德-塔特猜想及霍奇猜想合取之间的逻辑等价性。
• 通过上同调与伽罗瓦理论结构，提供这三项猜想相互关联的统一视角。

提出的方法

• 系统性地介绍基础概念：自同态环、极化、罗萨蒂对合，以及阿贝尔簇按类型分类的阿尔贝特定理。
• 将霍奇猜想表述为：奇异上同调中的霍奇类是代数循环的有理线性组合。
• 将塔特猜想表述为：平展上同调中的塔特类是代数循环的ℓ-进线性组合。
• 将芒福德-塔特猜想引入为断言：ℓ-进伽罗瓦单值群等于霍奇群基变换到ℚℓ后的结果。
• 利用霍奇类与塔特类分别作为Hg(X)和Hℓ-不变量的类比，比较群Hg(X) ⊗ ℚℓ与Hℓ。
• 应用来自希米拉簇、动机理论以及绝对霍奇类理论的结果，推导出这些猜想之间的蕴含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，霍奇猜想与芒福德-塔特猜想可推出数域上阿贝尔簇的塔特猜想？
• RQ2 霍奇、塔特与芒福德-塔特猜想如何通过上同调中伽罗瓦群与霍奇群的结构相互关联？
• RQ3 在哪些阿贝尔簇类中（例如，CM型、单个、低维）这些猜想已被证明成立？
• RQ4 罗萨蒂对合与阿尔贝特定理在理解与猜想相关的自同态结构中起什么作用？
• RQ5 绝对霍奇类理论如何支持蕴含关系(T) ⇒ (H)，以及这如何与完整的等价关系(MT)+(H) ⇔ (T)相关联？

主要发现

• 芒福德-塔特猜想与霍奇猜想的合取可推出数域上阿贝尔簇的塔特猜想，如通过等价关系(MT)+(H) ⇔ (T)所示。
• 对于数域上维数为素数的单个阿贝尔簇，芒福德-塔特猜想成立，结合坦克耶夫对霍奇猜想的结果，可推出塔特猜想。
• 对于复数域上且芒福德-塔特群为维数g+1的环面的CM型阿贝尔簇，霍奇猜想成立，因此在数域上塔特猜想也成立。
• 对于类型I或II且相对维数为奇数的阿贝尔簇，芒福德-塔特猜想成立，且由于此类簇的霍奇猜想已由穆尔蒂与哈扎马证明，因此塔特猜想随之成立。
• 蕴含关系(T) ⇒ (H)由皮亚捷茨基-夏皮罗通过绝对霍奇类证明，结合(H)+(T) ⇒ (MT)，可建立完整的等价关系(MT)+(H) ⇔ (T)。
• 这些猜想通过上同调不变量紧密关联：霍奇类是H^2p(X_ℂ, ℚ)中关于Hg(X)-不变的类，塔特类是H^2p(X_k, ℚℓ)中关于Hℓ-不变的类，且满足Hℓ ⊆ Hg(X) ⊗ ℚℓ。