[论文解读] On the $\ell$-adic Galois representations attached to nonsimple abelian varieties

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文建立了在何种充分条件下，定义在有限生成域上非单个阿贝尔簇的 $\alpha$-adic Galois 表示可分解为与其单个因子相关的表示之积。通过使用李理论准则和 $\alpha$-adic 版本的霍奇理论结果，证明了当因子非同构且其自同态代数与表示满足特定代数条件时，有 $H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$，从而将经典结果推广至正特征情形，并验证了低维情形下的穆尔福-泰特猜想。

ABSTRACT

We study Galois representations attached to nonsimple abelian varieties over finitely generated fields of arbitrary characteristic. We give sufficient conditions for such representations to decompose as a product, and apply them to prove arithmetical analogues of results shown by Moonen and Zarhin in the context of complex abelian varieties (of dimension at most 5).

研究动机与目标

• 理解定义在有限生成域上非单个阿贝尔簇的 $\alpha$-adic Galois 表示的结构。
• 提供 $H_{\ell}(A_1 \times A_2)$ 分解为 $H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$ 的充分条件。
• 将 Hazama 和 Ichikawa 的霍奇理论结果推广至任意特征下的 $\alpha$-adic 设置。
• 验证在 $\mathbb{C}$ 的有限生成子域上，维数不超过 5 的阿贝尔簇的穆尔福-泰特猜想。

提出的方法

• 利用 $H_{\ell}(A)$ 的李代数结构及其在 $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}$ 上的单个分量分解来分析伽罗瓦作用。
• 应用类似 Ribet 的引理以及 Larsen-Pink 和 Pink 的技术来控制 $H_{\ell}(A)$ 的导出群。
• 采用相对维数与自同态代数的阿尔伯特分类法来区分阿贝尔簇的类型。
• 通过 $\ell$-adic 设置下的秩比较与同构论证，建立同构 $H_{\ell}(A) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$。
• 利用 $H_{\ell}(A)$ 的秩与 $\ell$ 无关的事实，从单个素数 $\ell$ 处的局部同构推出全局同构。
• 应用 [16] 中关于一般 Lefschetz 类型的结果与 [21] 中关于 $\operatorname{SL}_2^n$ 的 $\mathbb{Q}$-形式的结果，对自同态环平凡的四维阿贝尔簇的可能 $H_{\ell}(A)$ 进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非同构阿贝尔簇的积的 $\ell$-adic Galois 表示可分解为各因子表示的积？
• RQ2 Ichikawa 对复阿贝尔簇提出的霍奇理论准则能否推广至正特征下的 $\ell$-adic 设置？
• RQ3 对于 $\overline{K}$-同构于若干绝对单个因子之积的、维数不超过 5 的阿贝尔簇（定义在 $\mathbb{C}$ 的子域上），穆尔福-泰特猜想是否成立？
• RQ4 当 $A_1$ 属于阿尔伯特分类中的 IV 型，$A_2$ 属于 I、II 或 III 型时，$H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$ 在何种条件下成立？
• RQ5 相对维数与最高权稳定性在决定 $H_{\ell}(A)$ 分解中起何种作用？

主要发现

• 定理 4.1 提供了基于李代数及其作用的半单性与表示论相容性的充分条件，使得 $H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$ 成立。
• 推论 4.5 表明，当 $K \subset \mathbb{C}$ 且 $A_i$ 为绝对单个、维数 $\leq 2$ 且彼此非同构时，若 $A$ 是 $\overline{K}$-同构于 $\prod A_i^{k_i}$，则 $H_{\ell}(A) \cong \prod H_{\ell}(A_i)$ 成立，且 $A$ 满足穆尔福-泰特猜想。
• 定理 4.7 证明：若 $A_1$ 为 I、II 或 III 型，$A_2$ 为 IV 型，且两者均为奇数相对维数、非同构，则在特征零下，有 $H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$。
• 在正特征下，定理 5.7 与 5.9 提供了类似结果，但假设稍弱，表明在相对维数与非同构性条件满足时，积分解仍成立。
• 对于自同态环满足 $\operatorname{End}_{\overline{K}}(A_1) = \mathbb{Z}$ 的四维阿贝尔簇，本文通过同构论证排除秩矛盾，证明对所有 $\ell$，有 $H_{\ell}(A_1 \times A_2) \cong H_{\ell}(A_1) \times H_{\ell}(A_2)$。
• 本文确认了所有定义在 $\mathbb{C}$ 的有限生成子域上、维数 $\leq 5$ 且 $\overline{K}$-同构于非同构绝对单个因子之积的阿贝尔簇，其穆尔福-泰特猜想成立。