[论文解读] A Survey on Reproducing Kernel Krein Spaces

Aurelian Gheondea|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本综述通过柯尔莫哥洛夫分解的线性化方法与算子理论手段，为再生核克雷因空间的可重现性建立了基础理论。它对与埃尔米特核相关的此类空间的存在性与唯一性提供了表征，尤其强调了在全纯函数设定下，谢戈核的普遍性。

ABSTRACT

This is a survey on reproducing kernel Krein spaces and their interplay with operator valued Hermitian kernels. Existence and uniqueness properties are carefully reviewed. The approach we follow in this survey uses a more abstract but very useful concept of linearization or Kolmogorov decomposition, as well as the underlying concept of Krein space induced by a selfadjoint operator and that of Krein space continuously embedded. The operator range feature of reproducing kernel spaces is emphasized. We include a careful presentation of Hermitian kernels on complex regions that points out a universality property of the Szego kernels with respect to reproducing kernel Krein spaces of holomorphic functions.

研究动机与目标

• 系统性地回顾与埃尔米特核相关的再生核克雷因空间的存在性与唯一性条件。
• 阐明线性化（柯尔莫哥洛夫分解）及由此诱导的克雷因空间在构建与表征这些空间中的作用。
• 建立再生核克雷因空间与经典函数空间（如哈代空间与德鲁里-阿夫森森空间）之间的联系。
• 表征谢戈核在生成全纯函数（单复变与多复变）的再生核克雷因空间中的普遍性。
• 统一并澄清算子值核、不定内积与再生核空间的算子值域结构之间的相互作用。

提出的方法

• 利用线性化（柯尔莫哥洛夫分解）的概念，将埃尔米特核表示为两个正半定核的差。
• 应用由自伴算子诱导的克雷因空间理论，表征再生核空间的结构。
• 采用克雷因空间连续嵌入希尔伯特空间的概念，研究再生核空间的算子值域性质。
• 应用克雷因空间分解为正定与负定子空间的基本方法，以定义不定内积。
• 使用对称算子 $J = P_+ - P_-$ 将不定内积 $[\cdot, \cdot]$ 与希尔伯特空间内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 联系起来。
• 应用复分析与泛函分析的结果，证明在 $\mathbb{C}^n$ 中的域上，全纯埃尔米特核可实现为再生核克雷因空间，尤其通过哈代空间与德鲁里-阿夫森森空间中的谢戈核。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定的埃尔米特核可实现为再生核克雷因空间？
• RQ2 何时与埃尔米特核相关的再生核克雷因空间是唯一的？
• RQ3 柯尔莫哥洛夫分解技术如何实现从不定核构造再生核克雷因空间？
• RQ4 谢戈核在全纯函数的再生核克雷因空间普遍性中起何种作用？
• RQ5 横向谱间隙与极大一致正子空间的概念如何表征克雷因空间设定下的唯一性？

主要发现

• 埃尔米特核 $K$ 可实现为再生核克雷因空间，当且仅当其可分解为两个正半定核的差，其存在性由柯尔莫哥洛夫分解表征。
• 再生核克雷因空间的唯一性等价于其关联空间中存在横向谱间隙或极大一致正子空间。
• 在单位球 $\mathbb{B}_1$ 上的全纯埃尔米特核，谢戈核在哈代空间 $H^2(\mathbb{B}_1)$ 内普遍生成一个再生核克雷因空间。
• 与埃尔米特核相关的再生核空间是希尔伯特空间中的算子值域，这是本综述强调的关键结构性特征。
• 通过 $({\mathcal{B}}_A; \Pi_{{\mathcal{B}}_A})$ 方法构造再生核克雷因空间，可得到一个自伴算子 $K$，使得 $K(\xi, \eta) = \langle K a_\xi, a_\eta \rangle_{H^2}$，从而将核与算子理论联系起来。
• 再生核克雷因空间理论与算子扩张理论及 $*$-半群不变核理论密切相关，其基础结果源于 L. Schwartz 的工作，并由他人后续形式化。