[论文解读] A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing

Giuseppe Di Battista, Fabrizio Frati|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 106被引用 12

一句话总结

本综述全面概述了在小几何面积内绘制平面图的算法与理论界限，重点关注各种绘图惯例，如直线、正交、向上、凸、邻近及聚类绘图。它识别出最小化面积的关键技术，并指出开放性问题，包括某些聚类图绘图的指数面积下界，以及有序凸绘图在聚类树上的未解问题。

ABSTRACT

We survey algorithms and bounds for constructing planar drawings of graphs in small area.

研究动机与目标

• 综述在最小面积内绘制平面图的最先进算法与几何空间界限。
• 分析不同绘图惯例（如直线、正交、向上、凸及聚类绘图）对面积需求的影响。
• 识别并突出小面积平面图绘图中的基本开放问题，尤其关注聚类图与层次图。
• 研究图结构（如树、外平面图、串并联图）与平面绘图中面积效率之间的相互作用。
• 解决聚类图绘图中有序保持与凸区域表示的面积需求的未决问题。

提出的方法

• 本文综述了现有用于构建最小面积平面图绘图的算法技术，强调归纳构造与几何变换。
• 分析了绘图惯例（如直线边、多边形线、向上方向性及凸面约束）对面积复杂度的影响。
• 作者采用归纳方法，包括边收缩、聚类移除以及通过分离三元环的分解，将复杂图简化为更简单的子问题。
• 对于聚类图，该方法涉及将图转化为层次或外聚类形式，以支持递归绘图与重构。
• 借鉴Fáry定理与可视性表示技术，以在小面积内构造正交与矩形绘图。
• 通过将已知的指数面积构造从向上绘图与直线绘图中进行归约，推导出下界，尤其针对非c-连通的聚类树。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同嵌入约束下，使用直线边绘制任意n-顶点平面图所需的最小面积是多少？
• RQ2 所有聚类图是否都能在多项式面积内以凸聚类区域绘制？还是存在固有的指数面积下界？
• RQ3 当聚类必须以凸区域表示时，聚类树的有序保持直线c-平面绘图的面积需求是多少？
• RQ4 分离环与双连通分量如何影响聚类图绘图的面积复杂度？
• RQ5 是否存在一个通用的算法框架，可在多种图族与绘图惯例下实现小面积绘图？

主要发现

• 存在某些聚类图，在任何直线c-平面绘图中若以凸区域表示聚类，则需要指数面积，从而确立了根本性下界。
• 对于c-连通的聚类树，一种归纳算法可在O(n²)面积内实现直线矩形绘图，证明了多项式空间的可行性。
• 非c-连通的聚类树在凸区域直线绘图中可能需要指数面积，扩展了来自向上绘图的已知下界。
• Angelini等人提出的算法通过将聚类图递归分解为外聚类与线性有序子图，构建直线矩形绘图。
• Eades等人与Feng等人证明，即使在度数为4的约束下，具有凸聚类的一般c-平面绘图通常也需要指数面积。
• 关于有序保持直线c-平面绘图中聚类树的面积复杂度，仍存在开放性问题。