[论文解读] A survey on the Weierstrass approximation theorem

Dilcia Pérez, Yamilet Quintana|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 26被引用 36

一句话总结

本综述全面概述了魏尔斯特拉斯逼近定理，将其经典结果推广至 $Γ$-值函数和加权索伯列夫空间。研究建立了 $Γ$-值多项式在 $L^p_{Γ}(I)$ 中的稠密性，并探讨了这些多项式在加权 $W^{1,∞}_{Γ}(I,w)$ 空间中的闭包，为逼近论提供了新的推广和开放问题。

ABSTRACT

The celebrated and famous Weierstrass approximation theorem characterizes the set of continuous functions on a compact interval via uniform approximation by algebraic polynomials. This theorem is the first significant result in Approximation Theory of one real variable and plays a key role in the development of General Approximation Theory. Our aim is to investigate some new results relative to such theorem, to present a history of the subject, and to introduce some open problems.

研究动机与目标

• 提供逼近论中魏尔斯特拉斯逼近定理的历史回顾与现代发展。
• 将经典定理推广至取值于实分离希尔伯特空间（$\mathcal{G}$-值函数）的情形。
• 研究 $\mathcal{G}$-值多项式在 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 和加权索伯列夫空间 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$ 中的稠密性。
• 识别并提出关于 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 在加权 $W^{1,\infty}$ 范数下闭包的开放问题。

提出的方法

• 将经典魏尔斯特拉斯定理推广至紧区间 $I$ 上的 $\mathcal{G}$-值连续函数，其中 $\mathcal{G}$ 是一个实分离希尔伯特空间。
• 将 $\mathcal{G}$-值多项式定义为形如 $\phi(t) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \xi_n t^n$ 的函数，其中 $\xi_n \in \mathcal{G}$ 且具有有限支集。
• 引入空间 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$，即弱可测且 $p$-可积的 $\mathcal{G}$-值函数空间，其范数为 $\|f\|_{L^p_{\mathcal{G}}(I)} = \left(\int_I \|f(t)\|_{\mathcal{G}}^p dt\right)^{1/p}$。
• 通过分量弱导数定义 $\mathcal{G}$-值函数 $f$ 的导数，从而构造索伯列夫空间 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$，其范数为 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$。
• 为 $\mathcal{G}$-值函数引入加权范数 $\|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$ 和 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$。
• 利用 $\mathcal{G}$ 中正交基的性质以及 $\mathcal{G}$ 作为交换巴拿赫代数的结构，分析 $\mathcal{G}$-值情形下的逼近问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在加权 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$ 空间中，$\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 的闭包是什么？
• RQ2 哪些是最一般性的权重 $w$ 条件，使得能够刻画 $\overline{\mathbb{P}(\mathcal{G})}^{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)}$？
• RQ3 魏尔斯特拉斯逼近定理如何推广至 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 中的 $\mathcal{G}$-值函数（$1 \leq p < \infty$）？
• RQ4 经典魏尔斯特拉斯定理能否推广至取值于无穷维希尔伯特空间的函数，并在索伯列夫型范数下成立？
• RQ5 $\mathcal{G}$ 作为交换巴拿赫代数的结构在实现此类推广中起什么作用？

主要发现

• 对于所有 $1 \leq p < \infty$，$\mathcal{G}$-值多项式空间 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 在 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 中是稠密的，这将经典魏尔斯特拉斯定理推广至向量值函数。
• $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 在本质Essential上确界范数下是 $L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ 的稠密子空间。
• 通过 $\mathcal{G}$ 的正交基分量定义 $\mathcal{G}$-值函数 $f$ 的导数，从而实现 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$ 的构造。
• $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$ 空间定义良好，其范数为 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$，且 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 在该空间中稠密。
• 本文提出了关于 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 在加权 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$ 空间中闭包的开放问题，强调了对权重 $w$ 的一般性条件的迫切需求。
• 本文证明了 $L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ 中的 $\mathcal{G}$-值函数可在 $L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ 范数下被 $\mathcal{G}$-值多项式逼近，从而推广了经典的一致逼近结果。