[论文解读] A theorem of Heine-Stieltjes, the Wronski map, and Bethe vectors in the sl_p Gaudin model

Inna Scherbak|ArXiv.org|Nov 24, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文将经典的 Heine-Stieltjes 定理从二阶微分方程的多项式解推广至更高阶的 $p$-阶 Fuchsian 方程，建立了主函数（Wronski 映射）的临界点与多项式空间中 $p$-维子空间的 Grassmannian 上的 Schubert 流形之间的对应关系。关键结果是：在 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型中，Bethe 向量构成给定权下奇异向量子空间的一组基，该结论通过交集理论与 Schubert 计算得以证明。

ABSTRACT

Heine and Stieltjes in their studies of linear second-order differential equations with polynomial coefficients having a polynomial solution of a preassigned degree, discovered that the roots of such a solution are the coordinates of a critical point of a certain remarkable symmetric function, [He], [St]. Their result can be reformulated in terms of the Schubert calculus as follows: the critical points label the elements of the intersection of certain Schubert varieties in the Grassmannian of two-dimensional subspaces of the space of complex polynomials, [S1]. In a hundred years after the works of Heine and Stieltjes, it was established that the same critical points determine the Bethe vectors in the sl_2 Gaudin model, [G]. Recently it was proved that the Bethe vectors of the sl_2 Gaudin model form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight in the tensor product of irreducible sl_2-representations, [SV]. In the present work we generalize the result of Heine and Stieltjes to linear differential equations of order p>2. The function, which determines elements in the intersection of corresponding Schubert varieties in the Grassmannian of p-dimensional subspaces, turns out to be the very function which appears in the sl_p Gaudin model. In the case when the space of states of the Gaudin model is the tensor product of symmetric powers of the standard sl_p-representation, we prove that the Bethe vectors form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight.

研究动机与目标

• 将经典的 Heine-Stieltjes 定理从二阶微分方程的多项式解推广至 $p$-阶 Fuchsian 方程（$p > 2$）
• 建立主函数（Wronski 映射）的临界点与复多项式空间中 $p$-维子空间的 Grassmannian 上的 Schubert 流形之间的对应关系
• 证明在 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型中，Bethe 向量构成张量积的对称幂中给定权的奇异向量子空间的一组基
• 在 Grassmannian 中应用交集理论，通过 Schubert 计算计数解，并验证奇异向量空间的维数

提出的方法

• 将具有多项式解的 $p$-阶 Fuchsian 微分方程问题转化为多项式空间中 $p$-维子空间的 Grassmannian $G_p(\mathrm{Poly}_d)$ 中的问题
• 利用在点 $\tilde{z} \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 处的旗构造 Schubert 流形 $\Omega_{\mathbf{w}}(\tilde{z})$，其指标为 $\mathbf{w} = (w_1, \dots, w_p)$，余维数为 $|\mathbf{w}| = \sum w_i$
• 通过解空间 $V$ 的 Wronskian $W_V(x)$ 将微分方程的奇点与 $W_V(x)$ 的根联系起来，其中重数对应于 Schubert 流形的余维数
• 引入与 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型相关的主函数 $\Phi^{0}(\mathbf{t})$，其临界点对应于广义 Heine-Stieltjes 问题的解
• 应用 Schubert 计算计算在 $0$、$1$ 和 $\infty$ 处的 Schubert 流形的交集 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$，并证明其仅在特定权条件下非空
• 利用 Reshetikhin 与 Varchenko 关于 $σ\mathrm{sl}_2$ Gaudin 模型的结果，对具有非零临界值的临界轨道数量进行上界估计，并证明其等于奇异向量空间的维数

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Heine-Stieltjes 定理从二阶微分方程推广至 $p > 2$ 的 $p$-阶 Fuchsian 方程的多项式解？
• RQ2 具有指定奇点和多项式解的 $p$-阶 Fuchsian 方程的解空间具有怎样的几何与代数结构？
• RQ3 在 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型中，主函数的临界点如何与多项式空间中 $p$-维子空间的 Grassmannian 上的 Schubert 流形相关联？
• RQ4 在何种条件下，对应于 $p$-阶方程的 Schubert 流形的交集产生唯一解，且该条件如何与 Gaudin 模型关联？
• RQ5 能否证明 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型中的 Bethe 向量构成给定权下奇异向量子空间的一组基？

主要发现

• 广义 Heine-Stieltjes 定理对 $p$-阶 Fuchsian 方程成立：当且仅当 Wronski 衍生的根对应于主函数 $\Phi^0(\mathbf{t})$ 的临界点时，存在多项式解。
• 对于 $σ\mathrm{sl}_p$ Gaudin 模型中两个站点 $z = (0,1)$ 的情形，若最高权 $\Lambda_0 = (m_1 + m_2)E - k_1\alpha_1 - \cdots - k_{p-1}\alpha_{p-1}$ 出现在 $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$ 中，则主函数 $\Phi^0(\mathbf{t})$ 的非零临界值的临界轨道数量恰好为 $1$；否则为 $0$。
• 在 $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$ 中，权 $\Lambda_0$ 的奇异向量子空间的维数等于具有指定次数 $d_1, \dots, d_p$ 的广义 Heine-Stieltjes 问题的解的数量。
• 对于一般的 $z = (z_1, \dots, z_n)$，形如 (25)–(26) 的 $p$-阶微分方程中具有次数 $d_1 < \cdots < d_p$ 的多项式解的数量等于 $\dim \mathrm{Sing}_{\mathbf{k}} \mathcal{L}^{\otimes m}$，其中 $\mathbf{k}$ 由 $k_i = d_1 + \cdots + d_{p-i} + (n-1)\frac{(p-i)(p-i-1)}{2}$ 定义。
• 每个非退化的临界轨道对应一个唯一的非零 Bethe 向量，且所有此类向量构成给定权下奇异向量空间的一组基。
• 若交集 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$ 非空，则 $p$-阶方程的解空间为非退化的 $p$-平面，从而确认了解的几何存在性。