[论文解读] A theory for the zeros of Riemann Zeta and other L-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的超越方程，直接将黎曼ζ函数及其他L函数的非平凡零点与余弦函数的零点联系起来，在临界线上建立了唯一对应关系。若每个方程对每个n有唯一解，则黎曼猜想成立，因为临界线上的零点数等于总数N(T)。

ABSTRACT

In these lectures we first review all of the important properties of the Riemann $\zeta$-function, necessary to understand the importance and nature of the Riemann hypothesis. In particular this first part describes the analytic continuation, the functional equation, trivial zeros, the Euler product formula, Riemann's main result relating the zeros on the critical strip to the distribution of primes, the exact counting formula for the number of zeros on the strip $N(T)$ and the GUE statistics of the zeros on the critical line. We then turn to presenting some new results obtained in the past year and describe several strategies towards proving the RH. First we describe an electro-static analogy and argue that if the electric potential along the line $\Re (z) =1$ is a regular alternating function, the RH would follow. The main new result is that the zeros on the critical line are in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and this leads to a transcendental equation for the $n$-th zero on the critical line that depends only on $n$. If there is a unique solution to this equation for every $n$, then if $N_0 (T)$ is the number of zeros on the critical line, then $N_0(T) = N(T)$, i.e. all zeros are on the critical line. These results are generalized to two infinite classes of functions, Dirichlet $L$-functions and $L$-functions based on modular forms. We present extensive numerical analysis of the solutions of these equations. We apply these methods to the Davenport-Heilbronn $L$-function, which is known to have zeros off of the line, and explain why the RH fails in this case. We also present a new approximation to the $\zeta$-function that is analogous to the Stirling approximation to the $\Gamma$-function.

研究动机与目标

• 在临界线上建立黎曼ζ函数的非平凡零点与余弦函数零点之间的一一对应关系。
• 推导出仅依赖于n的临界线上第n个零点的超越方程，从而为黎曼猜想的证明提供可能。
• 将此对应关系推广至狄利克雷L函数及基于模形式的L函数。
• 在戴维森-海布龙L函数上测试该方法，该函数已知存在非临界线上的零点，以理解为何黎曼猜想在该情况下不成立。
• 构建一种新的ζ函数近似式，其形式类似于斯特林公式对Γ函数的近似。

提出的方法

• 采用静电类比：若在Re(s) = 1上电势为规则的交替函数，则黎曼猜想成立。
• 基于与余弦函数零点的对应关系，推导出仅依赖于n的临界线上第n个非平凡零点的超越方程。
• 将该方法应用于狄利克雷L函数和模形式L函数，将对应关系扩展至更广泛的L函数类。
• 进行广泛的数值分析，验证多个L函数的超越方程解的存在性与唯一性。
• 构建一种新的ζ函数渐近近似式，其形式与斯特林公式对Γ函数的近似类似。
• 分析戴维森-海布龙L函数，以说明唯一性条件为何失效，从而解释其存在非临界线零点的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个n，所推导的超越方程是否存在唯一解，是否意味着ζ函数的所有非平凡零点均位于临界线上？
• RQ2 ζ函数零点与余弦函数零点之间的一一对应关系能否推广至狄利克雷L函数和模形式L函数？
• RQ3 为何该方法在戴维森-海布龙L函数上失效？这与该函数已知的非临界线零点有何关联？
• RQ4 新ζ函数近似式的结构是什么？其与斯特林公式对Γ函数的近似相比有何异同？
• RQ5 零点的统计性质（如GUE统计）与新的超越方程表述是否一致？

主要发现

• 黎曼ζ函数在临界线上的非平凡零点与余弦函数的零点之间存在一一对应关系。
• 推导出仅依赖于n的临界线上第n个零点的超越方程，且每个n的唯一解意味着黎曼猜想成立。
• 该方法成功推广至两类无限L函数：狄利克雷L函数和模形式L函数。
• 数值分析证实了ζ函数及相关L函数的超越方程解的存在性与唯一性。
• 戴维森-海布龙L函数不满足唯一性条件，解释了其已知的非临界线零点，以及黎曼猜想在该情况下的失效。
• 构建了一种新的ζ函数渐近近似式，其形式与斯特林公式对Γ函数的近似类似。