[论文解读] A Theory of Transfers: Duality and convolution

Malcolm Bowles, Nassif Ghoussoub|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文提出了一套关于概率测度之间线性和凸转移的统一理论，推广了最优传输、弱传输以及随机过程。建立了对偶公式，定义了有效转移和对偶 Kantorovich 算子，并将弱 KAM 理论扩展至随机设置，关键结果包括转移不等式和通过广义 Peierls 位势实现的收敛性。

ABSTRACT

We introduce and study the permanence properties of the class of linear transfers between probability measures. This class contains all cost minimizing mass transports, but also martingale mass transports, the Schrodinger bridge associated to a reversible Markov process, and the weak mass transports of Tala- grand, Marton, Gozlan and others. The class also includes various stochastic mass transports to which Monge-Kantorovich theory does not apply. We also introduce the cone of convex transfers, which include any p-power (p > 1) of a linear transfer, but also the logarithmic entropy, the Donsker-Varadhan infor- mation and certain free energy functionals. This first paper is mostly about exhibiting examples that point to the pervasiveness of the concept in the important work on correlating probability distributions. Duality formulae for general transfer inequalities follow in a very natural way. We also study the infinite self-convolution of a linear transfer in order to establish the existence of generalized weak KAM solutions that could be applied to the stochastic counterpart of Fathi-Mather theory.

研究动机与目标

• 将多样化的传输类问题——最优传输、弱传输、随机过程、熵泛函——统一于单一理论框架之下。
• 发展超越经典 Monge-Kantorovich 理论的传输对偶理论，尤其针对非成本最小化和非对称问题。
• 通过有效转移和对偶算子，将弱 KAM 理论推广至随机和凸设置。
• 利用广义 Peierls 位势和渐近复合结构，建立传输不等式和收敛性结果。

提出的方法

• 将线性传输定义为概率测度上的泛函，推广了成本最小化传输，包含鞅传输、Skorokhod 嵌入和 Schrödinger 桥问题。
• 通过传输的渐近复合结构，定义对偶 Kantorovich 算子和有效传输（广义 Peierls 位势）。
• 应用对偶理论，推导出凸传输与反向完全凸传输之间的不等式，扩展了 Bobkov-Götze 和 Maurey 型结果。
• 利用弱*连续性和凸性，证明测度与传输序列的收敛性，确立不动点的存在性。
• 将该理论应用于前向映射和连续动力系统，表明 $ T^\infty f = f \circ \sigma^\infty $，其中 $ \sigma^\infty $ 是迭代映射的极限。
• 证明 $ \mathcal{T}_\infty = \mathcal{T}_\infty * \mathcal{T}_\infty $，意味着对不变测度有 $ \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \bar{\sigma}) = 0 $，从而与不变测度和不动点建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个统一框架，描述包括随机和非成本最小化问题在内的多样化传输问题，超越经典 Monge-Kantorovich 理论？
• RQ2 对于一般线性和凸传输，其对偶结构如何呈现？它如何扩展 Bobkov-Götze 和 Maurey 等已知不等式？
• RQ3 能否通过有效传输和对偶算子，将弱 KAM 理论推广至随机设置？
• RQ4 广义 Peierls 位势在刻画不变测度和传输序列收敛性中起什么作用？
• RQ5 前向映射和迭代动力学如何与传输及其对偶算子的渐近行为相关联？

主要发现

• 线性传输类包括成本最小化传输、鞅传输、Skorokhod 嵌入和 Schrödinger 桥，统一了多样化传输问题。
• 传输不等式的对偶公式自然导出，推广了 Bobkov-Götze、Gozlan-Leonard 和 Maurey 的结果。
• 有效传输 $ \mathcal{T}_\infty $ 满足 $ \mathcal{T}_\infty = \mathcal{T}_\infty * \mathcal{T}_\infty $，意味着对不变测度 $ \bar{\sigma} $ 有 $ \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \bar{\sigma}) = 0 $，从而刻画了不动点。
• 对于前向传输，对偶算子满足 $ T^\infty f = f \circ \sigma^\infty $，其中 $ \sigma^\infty $ 是迭代映射的 $ \limsup $，即使映射不连续也成立。
• 该理论证明了 $ \mathcal{T}_\infty(\mu, \nu) \geq \mathcal{T}_\infty(\mu, \bar{\sigma}) + \mathcal{T}_\infty(\bar{\sigma}, \nu) $，且在极限下取等，证明收敛至不变结构。
• 传输的凸锥包含 $ p $-次幂传输、对数熵、Donsker-Varadhan 信息和平均场计划，显示出广泛适用性。