[论文解读] A three point formula for finding roots of equations by the method of least squares

Ababu Teklemariam Tiruneh, N. Ndlela+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种无导数的迭代根求解方法，通过三个等距点拟合幂函数 P(x) = a(x−b)^N，利用最小二乘法，迭代地改进根的估计。该方法在不需计算导数的情况下实现了与牛顿法相当的二次收敛速度，且在某些情况下表现出比割线法和牛顿法更快的收敛速度和更强的鲁棒性。

ABSTRACT

A new method of root finding is formulated that uses a numerical iterative process involving three points. A given function y = f(x) whose roots are desired is fitted and approximated by a polynomial function of the form P(x)= a(x-b)^N that passes between three equi-spaced points using the method of least squares. Successive iterations using the same procedure of curve fitting is used to locate the root within a given level of tolerance. The power N of the curve suitable for a given function form can be appropriately varied at each step of the iteration to give a faster rate of convergence and avoid cases where oscillation, divergence or off shooting to an invalid domain may be encountered. An estimate of the rate of convergence is provided. It is shown that the method has a quadratic convergence similar to that of Newton's method. Examples are provided showing the procedure as well as comparison of the rate of convergence with the secant and Newton methods. The method does not require evaluation of function derivatives.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解非线性方程的无导数迭代方法。
• 通过在每次迭代中自适应调整拟合多项式的幂 N，提升根求解的收敛速度和稳定性。
• 避免传统方法（如牛顿-拉夫森法）中常见的发散或振荡问题。
• 提供一种不需计算导数的鲁棒替代方案，作为牛顿法和割线法的替代选择。
• 通过数值实例和对比分析，展示二次收敛行为。

提出的方法

• 该方法在函数 f(x) 上选取三个等距点，利用最小二乘法拟合幂函数 P(x) = a(x−b)^N。
• 通过求解 P(x) = 0 来估计根，从而获得新的迭代值。
• 在每次迭代中，根据函数的局部行为自适应调整指数 N，以增强收敛性。
• 重复该过程，直至根被定位在指定容差范围内。
• 该方法通过每次迭代仅依赖三个点的函数值，避免了导数的计算。
• 通过检查连续迭代值之间的差值和残差来监控收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过三点最小二乘拟合幂函数，是否能在不计算导数的情况下实现二次收敛？
• RQ2 幂 N 的自适应选择如何影响收敛速度和稳定性？
• RQ3 在实际应用中，该方法的收敛速度是否优于或等同于牛顿法和割线法？
• RQ4 在何种条件下，该方法可避免发散或振荡？
• RQ5 该方法在具有不同曲率或强非线性的函数上的表现如何？

主要发现

• 数值实验证实，该方法实现了二次收敛，其收敛速度与牛顿法相当。
• 只要幂 N 能够自适应调整，即使在高度非线性函数中，该方法仍能保持收敛速率。
• 在牛顿法因初始猜测不佳或导数为零而发散的情况下，该方法可避免发散和振荡。
• 在测试实例中，该方法收敛速度优于割线法，且与牛顿法相当，同时无需计算导数。
• 对幂函数的最小二乘拟合能稳定且准确地逼近解附近的根求解行为。
• 该方法在一系列测试函数中表现出强鲁棒性，包括具有复杂曲率或多解的函数。