[论文解读] A tight Erdýos-Posa function for long cycles

Frank Mousset, Andreas Noever+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 2

一句话总结

本文建立了长圈的紧致Erdős–Pósa函数，证明任意图要么包含k个顶点不相交的长度至少为l的圈，要么通过删除O(kl + k log k)个顶点即可消除所有此类圈。该结果推广了经典的Erdős–Pósa定理，并在常数因子意义下达到最优界，其应用包括排除长圈的图的树宽界。

ABSTRACT

A classic result of Erdős and Posa says that any graph contains either k vertexdisjoint cycles or can be made acyclic by deleting at most O(k log k) vertices. Here we generalize this result by showing that for all numbers k and l and for every graph G, either G contains k vertex-disjoint cycles of length at least l, or there exists a set X of O(kl+k log k) vertices that meets all cycles of length at least l in G. As a corollary, the tree-width of any graph G that does not contain k vertex-disjoint cycles of length at least l is of order O(kl+k log k). These results improve on the work of Birmele, Bondy and Reed ’07 and Fiorini and Herinckx ’14 and are optimal up to constant factors.

研究动机与目标

• 将经典的Erdős–Pósa定理推广至长度至少为l的圈。
• 确定最优函数f(k, l)，使得任意图要么包含k个长度≥l的顶点不相交圈，要么存在大小为f(k, l)的击中集。
• 在长圈背景下建立Erdős–Pósa函数的紧致渐近界。
• 推导排除k个顶点不相交长圈的图的树宽上界。

提出的方法

• 通过结构图论和圈打包技术，将经典的Erdős–Pósa论证扩展至长圈。
• 应用递归分解论证以识别或打包k个顶点不相交的长圈。
• 采用顶点稀疏化方法以界定长圈击中集的大小。
• 利用圈子图的结构和树宽的性质，将击中集大小与图的稀疏性联系起来。
• 应用已知的树宽与圈打包结果以推导最终界。
• 结合组合论证与已知的极值图论，实现紧致渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最优函数f(k, l)，使得任意图包含k个长度至少为l的顶点不相交圈，或存在大小为f(k, l)的击中集？
• RQ2 经典的Erdős–Pósa定理能否在紧致渐近界下推广至长圈？
• RQ3 排除k个顶点不相交长度至少为l的圈的图的树宽是多少？
• RQ4 与任意圈相比，长圈的界在k和l上的依赖关系如何？

主要发现

• 本文证明O(kl + k log k)个顶点足以击中任意图中所有长度至少为l的圈。
• 该界在常数因子意义下最优，优于Birmele、Bondy、Reed、Fiorini和Herinckx的先前结果。
• 该结果将经典的Erdős–Pósa定理推广至长圈，并在k和l上实现紧致渐近依赖。
• 任何排除k个顶点不相交长圈（长度≥l）的图，其树宽为O(kl + k log k)。
• 击中集函数是紧致的，即不存在渐近更小的函数能实现相同保证。
• 分析确认l的依赖关系为线性，k的依赖关系为线性对数，达到最佳可能的权衡。