[论文解读] A Time Hierarchy Theorem for the LOCAL Model

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 8

一句话总结

该论文通过引入一族时间复杂度为 Θ(n^{1/k})（k ∈ ℤ⁺）的分层图着色问题，首次在分布式计算的 LOCAL 模型中建立了时间层次定理，证明了更多时间能够解决严格更多的问题。此外，该研究揭示了复杂性图谱中的间隙，表明在对数时间以下的随机算法可被加速至 O(T_{LLL}) 时间，且在树上的确定性算法在亚对数时间内可自动去随机化为 O(log n) 时间。

ABSTRACT

The celebrated Time Hierarchy Theorem for Turing machines states, informally, that more problems can be solved given more time. The extent to which a time hierarchy-type theorem holds in the distributed LOCAL model has been open for many years. It is consistent with previous results that all natural problems in the LOCAL model can be classified according to a small constant number of complexities, such as $O(1),O(\log^* n), O(\log n), 2^{O(\sqrt{\log n})}$, etc. In this paper we establish the first time hierarchy theorem for the LOCAL model and prove that several gaps exist in the LOCAL time hierarchy. 1. We define an infinite set of simple coloring problems called Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring}. A correctly colored graph can be confirmed by simply checking the neighborhood of each vertex, so this problem fits into the class of locally checkable labeling (LCL) problems. However, the complexity of the $k$-level Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring problem is $Θ(n^{1/k})$, for $k\in\mathbb{Z}^+$. The upper and lower bounds hold for both general graphs and trees, and for both randomized and deterministic algorithms. 2. Consider any LCL problem on bounded degree trees. We prove an automatic-speedup theorem that states that any randomized $n^{o(1)}$-time algorithm solving the LCL can be transformed into a deterministic $O(\log n)$-time algorithm. Together with a previous result, this establishes that on trees, there are no natural deterministic complexities in the ranges $ω(\log^* n)$---$o(\log n)$ or $ω(\log n)$---$n^{o(1)}$. 3. We expose a gap in the randomized time hierarchy on general graphs. Any randomized algorithm that solves an LCL problem in sublogarithmic time can be sped up to run in $O(T_{LLL})$ time, which is the complexity of the distributed Lovasz local lemma problem, currently known to be $Ω(\log\log n)$ and $O(\log n)$.

研究动机与目标

• 为长期悬而未决的问题提供解答：在 LOCAL 模型中是否存在时间层次？
• 识别并表征分布式计算中 LCL 问题的自然复杂性间隙。
• 在有界度图上建立随机与确定性算法的自动加速定理。
• 研究随机性以及分布式 Lovász 局部引理（LLL）在亚对数时间中的作用。

提出的方法

• 引入分层 2½-着色问题，这是一类时间复杂度为 Θ(n^{1/k})（k ∈ ℤ⁺）的 LCL 问题族，其局部可验证且可在确定性与随机设置下求解。
• 证明一个自动加速定理：任何在有界度树上运行的 o(1)-时间随机算法，可被转换为 O(log n)-时间的确定性算法。
• 将分布式 LLL 问题作为核心复杂性基准进行分析，表明任何亚对数时间的随机 LCL 算法均可加速至 O(T_{LLL}) 时间，其中 T_{LLL} ∈ Ω(log log n) 且 O(log n)。
• 重新审视 Naor 和 Stockmeyer 对 O(1)-时间 LOCAL 算法的刻画，并计算特定图族（如环、环面和树）的隐含复杂性间隙。
• 使用局部模拟与消息传递技术，证明顶点可使用有界消息大小在 LLL 设置下局部验证配置与坏事件。
• 应用这些技术推导出消息大小界限，并在有界度条件下，用常数大小消息模拟无界消息算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 LOCAL 模型中是否存在时间层次，使得更多时间能解决严格更多的问题？
• RQ2 能否系统性地加速在亚对数时间内运行的随机算法？其最小可实现时间为何？
• RQ3 在有界度图上的 LCL 问题中，确定性与随机 LOCAL 复杂性层次中是否存在固有的复杂性间隙？
• RQ4 在树上，随机 o(1)-时间算法在多大程度上可被去随机化？最紧的确定性时间界限为何？
• RQ5 分布式 Lovász 局部引理在决定亚对数时间 LCL 问题复杂性方面，其精确作用是什么？

主要发现

• 分层 2½-着色问题对每个 k ∈ ℤ⁺ 具有时间复杂度 Θ(n^{1/k})，在 LOCAL 模型中建立了严格的时间层次。
• 在有界度树上，任何针对 LCL 问题的随机 o(1)-时间算法均可转换为 O(log n)-时间的确定性算法，消除了在 ω(log* n)–o(log n) 与 ω(log n)–n^{o(1)} 范围内的自然复杂性。
• 任何在亚对数时间内求解 LCL 问题的随机算法均可加速至 O(T_{LLL}) 时间，其中 T_{LLL} 为分布式 LLL 问题的复杂度，目前已知其位于 Ω(log log n) 与 O(log n) 之间。
• 对于 n-环，存在 ω(1)–o(log* n) 的复杂性间隙；对于 √n×√n 环面，存在 ω(1)–o(√log* n) 的间隙；对于有界度树与一般图，存在 ω(1)–o(log log* n) 的间隙。
• 当 Δ = O(1) 时，任何 o(log n)-时间的随机算法（使用无界消息）可仅用 1 位消息在 O(log n) 时间内模拟，表明在有界度下消息大小不会增加复杂性。
• 该论文表明，LOCAL 模型中可能的确定性复杂度集合并非稠密，对每个 k ∈ ℤ⁺，在 ω(n^{1/(k+1)}) 与 o(n^{1/k}) 之间存在间隙，暗示存在非平凡的层次结构。