[论文解读] An Exponential Separation Between Randomized and Deterministic Complexity in the LOCAL Model

Yi‐Jun Chang, Tsvi Kopelowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 18

一句话总结

本论文通过证明当 Δ ≥ 55 时，Δ-着色树在随机化下需要 Θ(logΔ log n) 轮，而确定性算法则需要 Θ(logΔ n) 轮，从而在 LOCAL 模型中建立了随机化与确定性算法之间的指数级分离。该结果表明，对于对称性破缺问题，随机性可提供超多项式加速，并表明图破碎技术对于实现亚多项式随机化复杂度至关重要。

ABSTRACT

Over the past 30 years numerous algorithms have been designed for symmetry breaking problems in the LOCAL model, such as maximal matching, MIS, vertex coloring, and edge-coloring. For most problems the best randomized algorithm is at least exponentially faster than the best deterministic algorithm. In this paper we prove that these exponential gaps are necessary and establish connections between the deterministic and randomized complexities in the LOCAL model. Each result has a very compelling take-away message: 1. Fast $Δ$-coloring of trees requires random bits: Building on the recent lower bounds of Brandt et al., we prove that the randomized complexity of $Δ$-coloring a tree with maximum degree $Δ\ge 55$ is $Θ(\log_Δ\log n)$, whereas its deterministic complexity is $Θ(\log_Δn)$ for any $Δ\ge 3$. This also establishes a large separation between the deterministic complexity of $Δ$-coloring and $(Δ+1)$-coloring trees. 2. Randomized lower bounds imply deterministic lower bounds: We prove that any deterministic algorithm for a natural class of problems that runs in $O(1)+o(\log_Δn)$ rounds can be transformed to run in $O(\log^*n-\log^*Δ+1)$ rounds. If the transformed algorithm violates a lower bound (even allowing randomization), then one can conclude that the problem requires $Ω(\log_Δn)$ time deterministically. 3. Deterministic lower bounds imply randomized lower bounds: We prove that the randomized complexity of any natural problem on instances of size $n$ is at least its deterministic complexity on instances of size $\sqrt{\log n}$. This shows that a deterministic $Ω(\log_Δn)$ lower bound for any problem implies a randomized $Ω(\log_Δ\log n)$ lower bound. It also illustrates that the graph shattering technique is absolutely essential to the LOCAL model.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：在 LOCAL 模型中，随机性是否能为对称性破缺问题提供超多项式加速？
• 正式建立随机化与确定性复杂度之间的指数差距是必要的，而不仅仅是实际观察到的现象。
• 证明随机化下界可推出确定性下界，反之亦然，揭示两类复杂度类之间的深层结构联系。
• 证明图破碎技术对于在 LOCAL 模型中实现快速随机化算法至关重要。
• 证明当 Δ ≥ 55 时，树的 Δ-着色在随机化设置下比确定性设置快指数级。

提出的方法

• 作者使用三阶段算法分析树的 Δ-着色的随机化复杂度：(1) 通过局部极小值和最大独立集（MIS）迭代着色顶点，(2) 使用定理 9 对残余连通分量（大小有界）进行 3-着色，(3) 通过再次应用 MIS 完成着色。
• 他们使用概率论证和切尔诺夫不等式，证明在着色后恰好有三个未着色邻居的未着色顶点会以高概率形成小连通分量。
• 他们证明：大小为 t 的距离-3 集合完全包含在残余集合 S 中的概率至多为 (1−ε)/(4Δ³)^t，从而对所有此类集合使用并集界。
• 他们应用引理 3 限制距离-3 集合的数量，并使用高概率集中性论证，证明 S 以高概率形成大小为 O(log n) 的连通分量。
• 他们通过从 √log n 大小的图进行约化，从较小实例上的确定性下界 Ω(logΔ n) 推导出随机化下界 Ω(logΔ log n)。
• 他们引入一种变换，将任意 O(1)+o(logΔ n)-轮的确定性算法转化为在 O(log*n − log*Δ + 1) 轮内运行的算法，从而实现从随机化下界推导确定性下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 LOCAL 模型中，随机化与确定性复杂度之间的指数差距是否是必要的？还是确定性算法最终可能追上随机化性能？
• RQ2 在 LOCAL 模型中，能否用随机化下界推断确定性下界，反之亦然？
• RQ3 为何图破碎技术对于在 LOCAL 模型中实现快速随机化算法至关重要？
• RQ4 当最大度 Δ ≥ 55 时，树的 Δ-着色的精确随机化复杂度是多少？
• RQ5 能否利用确定性复杂度下界推导出非平凡的随机化下界？

主要发现

• 当 Δ ≥ 55 时，树的 Δ-着色具有随机化复杂度 Θ(logΔ log n)，其指数远小于确定性复杂度 Θ(logΔ n)。
• 任何问题的随机化复杂度在大小为 √log n 的实例上至少等于其确定性复杂度，这意味着确定性复杂度的 Ω(logΔ n) 下界可推出随机化复杂度的 Ω(logΔ log n) 下界。
• 图破碎技术被证明是必不可少的：若能改进 Panconesi-Srinivasan 算法的 2^{O(√log n)} 轮复杂度，则必须改进目前已知最优随机化算法中 2^{O(√log log n)} 项。
• 任何在 O(1)+o(logΔ n) 轮内运行的自然问题类的确定性算法，均可被转换为在 O(log*n − log*Δ + 1) 轮内运行，从而实现从随机化下界推导确定性下界。
• 在第一阶段后，恰好有三个未着色邻居的顶点集合会以高概率形成大小为 O(log n) 的连通分量，从而在第二阶段实现高效的 3-着色。
• 大小为 t 的距离-3 集合完全包含在残余集合 S 中的概率至多为 ((1−ε)/(4Δ³))^t，该概率随 t 指数衰减，从而以高概率保证小连通分量。