[论文解读] A toolbox to solve coupled systems of differential and difference equations

Jakob Ablinger, Johannes Bluemlein+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文提出了一种决策算法，可自动计算在三圈重力费曼图计算中出现的耦合线性微分与差分方程组解的 $\varepsilon$-展开系数。通过利用全纯闭包、解耦合以及差分环算法，该方法可判断这些系数是否能以嵌套超几何和的形式表示为闭式表达——提供完整解或不可能性的证明。该方法已实现在 Mathematica 工具包 SolveCoupledSystem 中，实现了对 $\varepsilon$-展开计算的完全自动化，可处理高阶展开。

ABSTRACT

We present algorithms to solve coupled systems of linear differential equations, arising in the calculation of massive Feynman diagrams with local operator insertions at 3-loop order, which do {\it not} request special choices of bases. Here we assume that the desired solution has a power series representation and we seek for the coefficients in closed form. In particular, if the coefficients depend on a small parameter $\ep$ (the dimensional parameter), we assume that the coefficients themselves can be expanded in formal Laurent series w.r.t.\ $\ep$ and we try to compute the first terms in closed form. More precisely, we have a decision algorithm which solves the following problem: if the terms can be represented by an indefinite nested hypergeometric sum expression (covering as special cases the harmonic sums, cyclotomic sums, generalized harmonic sums or nested binomial sums), then we can calculate them. If the algorithm fails, we obtain a proof that the terms cannot be represented by the class of indefinite nested hypergeometric sum expressions. Internally, this problem is reduced by holonomic closure properties to solving a coupled system of linear difference equations. The underlying method in this setting relies on decoupling algorithms, difference ring algorithms and recurrence solving. We demonstrate by a concrete example how this algorithm can be applied with the new Mathematica package exttt{SolveCoupledSystem} which is based on the packages exttt{Sigma}, exttt{HarmonicSums} and exttt{OreSys}. In all applications the representation in $x$-space is obtained as an iterated integral representation over general alphabets, generalizing Poincaré iterated integrals.

研究动机与目标

• 开发一种完整算法，用于判断耦合线性微分与差分方程组解的 $\varepsilon$-展开系数是否可表示为闭式表达。
• 解决在三圈重力费曼图中含局部算符插入时，无需特殊基底选择的此类系统求解挑战。
• 提供一种决策过程，可计算嵌套超几何和表达式形式的系数，或在该类中证明其不可能性。
• 利用符号求和与积分工具，实现对 $\varepsilon$-展开系数至指定阶数的自动化计算。

提出的方法

• 通过全纯闭包性质，将求解耦合微分方程的问题转化为求解耦合线性差分方程组的问题。
• 采用解耦合算法将系统简化为适合递推求解与符号求和的形式。
• 利用差分环算法判断解是否可表示为不定嵌套超几何和（包括调和和、分圆和以及嵌套二项式和）。
• 该方法实现在 Mathematica 工具包 SolveCoupledSystem 中，集成 Sigma、HarmonicSums 和 OreSys 用于符号计算。
• 初始条件通过 $\alpha$-参数化计算，实现 $\varepsilon$-展开过程的完全自动化。
• 解以一般字母集上的迭代积分形式表示，推广了 Poincar\'e 迭代积分，以处理复杂的主积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 耦合线性微分与差分方程组解的 $\varepsilon$-展开系数是否可表示为嵌套超几何和表达式形式的闭式？
• RQ2 是否存在一种决策算法，可计算此类表达式或在嵌套超几何和类中证明其不可能性？
• RQ3 如何在无需特殊基底选择的前提下，自动求解含局部算符插入的三圈重力费曼图所导出的耦合系统？
• RQ4 微分系统右端项的计算结构是什么？即使解需要嵌套二项式和，其右端项是否仍可用广义调和和表示？
• RQ5 能否利用符号求和与积分工具，完全自动化计算至高阶的 $\varepsilon$-展开？

主要发现

• 该算法在 229 秒内成功计算出主积分 $\hat{I}_1(x) = J_6(1,1;x)$、$\hat{I}_2(x) = J_6(2,1;x)$ 和 $\hat{I}_3(x) = J_6(1,2;x)$ 的 $\varepsilon$-展开系数，至 $\varepsilon^3$ 阶。
• 三圈图的解涉及最多权重 7 的 40 个调和和，展示了该方法处理高权重、复杂和结构的能力。
• 尽管微分系统的右端项可用广义调和和表示，但解却需要嵌套二项式和，表明直接求解方法的局限性。
• 该方法证明了某些系数无法在嵌套超几何和表达式类中表示，提供了严格的决策过程。
• SolveCoupledSystem 中的实现使基于 IBP 简化主积分导出的耦合系统 $\varepsilon$-展开过程实现完全自动化。
• 该方法通过在 $x$-空间中解的迭代积分表示中允许一般字母集，推广了 Poincar\'e 迭代积分。