[论文解读] Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 62被引用 118

一句话总结

本文提出了一套先进的计算机代数算法，用于处理在规范量子场论的高阶微扰计算中常见的嵌套求和与迭代积分，如调和求和、S-求和、调和多 polylogarithm 和多重 polylogarithm。该文建立了这些对象之间的代数与结构关系，开发了渐近展开与转化为分圆 S-求和的算法，并在 HarmonicSums 和 MultiIntegrate 软件包中实现，从而实现了粒子物理振幅中高效符号计算。

ABSTRACT

This work deals with special nested objects arising in massive higher order perturbative calculations in renormalizable quantum field theories. On the one hand we work with nested sums such as harmonic sums and their generalizations (S-sums, cyclotomic harmonic sums, cyclotomic S-sums) and on the other hand we treat iterated integrals of the Poincaré and Chen-type, such as harmonic polylogarithms and their generalizations (multiple polylogarithms, cyclotomic harmonic polylogarithms). The iterated integrals are connected to the nested sums via (generalizations of) the Mellin-transformation and we show how this transformation can be computed. We derive algebraic and structural relations between the nested sums as well as relations between the values of the sums at infinity and connected to it the values of the iterated integrals evaluated at special constants. In addition we state algorithms to compute asymptotic expansions of these nested objects and we state an algorithm which rewrites certain types of nested sums into expressions in terms of cyclotomic S-sums. Moreover we summarize the main functionality of the computer algebra package HarmonicSums in which all these algorithms and transformations are implemented. Furthermore, we present application of and enhancements of the multivariate Almkvist-Zeilberger algorithm to certain types of Feynman integrals and the corresponding computer algebra package MultiIntegrate.

研究动机与目标

• 开发用于处理可重整化量子场论中质量相关高阶微扰计算里嵌套求和与迭代积分的符号算法。
• 建立嵌套求和（如调和求和、S-求和）及其在无穷远处取值与调和多 polylogarithm 等迭代积分之间的代数与结构关系。
• 实现这些特殊函数在高能物理应用中高效渐近展开计算。
• 将所有算法在 HarmonicSums 和 MultiIntegrate 计算机代数软件包中实现，以供粒子物理振幅的实际应用。
• 将多变量 Almkvist-Zeilberger 算法扩展，用于符号计算特定类别的费曼积分。

提出的方法

• 利用 Mellin 变换及其推广，将嵌套求和与 Poincaré 型与 Chen 型的迭代积分联系起来。
• 运用差分方程与微分方程，推导调和求和与多重 polylogarithm 之间的代数与结构恒等式。
• 应用嵌套求和与多重 polylogarithm 理论，包括分圆推广，以建模物理振幅。
• 开发基于阶乘级数与扩展调和 polylogarithm 的渐近展开算法。
• 提出一种变换算法，将某些嵌套求和重写为分圆 S-求和形式，以实现更简洁的表示。
• 增强多变量 Almkvist-Zeilberger 算法，以处理特定多变量超几何型费曼积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Mellin 变换系统地将嵌套求和（如调和求和、S-求和）与迭代积分（如调和 polylogarithm）联系起来？
• RQ2 嵌套求和与其在无穷远处的取值之间存在哪些代数与结构恒等式？它们如何与迭代积分中的特殊常数相关联？
• RQ3 哪些算法方法能够实现高能物理计算中嵌套求和与 polylogarithm 的高效渐近展开？
• RQ4 如何将某些嵌套求和转化为涉及分圆 S-求和的表达式，以简化符号计算？
• RQ5 多变量 Almkvist-Zeilberger 算法应如何扩展，以实现对特定类费曼积分的符号计算？

主要发现

• Mellin 变换为嵌套求和与迭代积分之间提供了系统性桥梁，使得物理振幅的符号求值成为可能。
• 推导出调和求和与 polylogarithm 之间的代数与微分关系，包括参数变换下的对称性与函数恒等式。
• 通过阶乘级数与扩展调和 polylogarithm 计算了调和求和与多重 polylogarithm 的渐近展开，并明确建立了其收敛性行为。
• 实现了将某些嵌套求和重写为分圆 S-求和形式的变换算法，降低了复杂度并提升了计算效率。
• HarmonicSums 软件包成功实现了所有核心算法，实现了量子场论中特殊函数的自动化符号计算。
• 基于增强的多变量 Almkvist-Zeilberger 技术构建的 MultiIntegrate 软件包，为带有符号参数的多圈费曼积分提供了系统性符号求值方法。