[论文解读] A tropical isoperimetric inequality

Jules Depersin, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Mathematics and Applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过为多面体定义一种新的热带体积概念，引入了经典等周不等式的热带类比，证明在固定热带直径下，使该体积最大的热带单纯形是已知的普通凸多面体，即多面体（polytropes）。关键结果表明，这些多面体是固定热带直径下唯一使热带体积最大化的对象，将热带几何与经典凸几何及复杂性理论联系起来。

ABSTRACT

We introduce tropical analogues of the notion of volume of polytopes, leading to a tropical version of the (discrete) classical isoperimetric inequality. The planar case is elementary, but a higher-dimensional generalization leads to an interesting class of ordinary convex polytopes, characterizing the equality case in the isoperimetric inequality. This study is motivated by open complexity questions concerning linear optimization and its tropical analogs.

研究动机与目标

• 开发一种基于热带多面体新体积概念的古典等周不等式的热带类比。
• 表征在固定热带直径下使该体积最大化的热带多面体。
• 将热带凸性与经典凸几何及线性规划中的复杂性理论联系起来。
• 探讨热带体积、对数极限集与幂等测度之间的关系。
• 研究高维中等直径热带多面体的组合与度量结构。

提出的方法

• 将热带距离定义为坐标差值最大值与最小值之差：$\operatorname{tdist}(v,w) = \max_i(v_i - w_i) - \min_i(v_i - w_i)$。
• 引入一种基于其生成元构成的矩阵的热带行列式的新热带体积概念 $\operatorname{tvol}$。
• 使用去量化方法，将第二种体积 $\operatorname{qtvol}^+$ 定义为在对数缩放下归一化经典体积的极限。
• 证明 $\operatorname{qtvol}^+$ 可作为强多项式时间最优运输问题的解来计算。
• 通过证明最大值点为多面体——既是热带特征空间也是普通凸多面体——来表征热带等周不等式中的等式成立条件。
• 建立多面体经典体积的上界，表明 $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$，其中 $\alpha$ 为点构型的三角剖分中最大胞腔的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定热带直径下，哪些热带多面体使新定义的热带体积最大化？
• RQ2 新定义的热带体积概念与经典体积及对数极限集有何关系？
• RQ3 在维度 $d \geq 5$ 时，等直径热带多面体的组合结构是什么？
• RQ4 热带等周不等式能否推广至矩阵阵列或低维热带体积？
• RQ5 体积上界 $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ 中的最优常数是多少？

主要发现

• 在固定热带直径下，使新定义的热带体积最大的热带多面体正是多面体——既是普通凸多面体也是热带特征空间的多面体。
• 在维度 $d=3$ 和 $d=4$ 时，仅存在一种使热带体积最大化的通用组合类型多面体。
• 去量化后的热带体积 $\operatorname{qtvol}^+$ 可作为最优运输问题的解，在强多项式时间内计算得出。
• 多面体的经典体积满足上界 $\alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$，其中 $\alpha$ 为点构型三角剖分中最大胞腔的数量。
• 去量化体积导致退化的等周不等式，因为等式成立的矩阵结构比使 $\operatorname{tvol}$ 最大的矩阵更不严格。
• 热带体积 $\operatorname{tvol}$ 是通用热带多面体空间上的幂等测度，且 $\operatorname{tvol} \bar{A} > 0$ 当且仅当 $\bar{A}$ 的热带行列式中存在唯一最大值排列。