[论文解读] Long and winding central paths

Xavier Allamigeon, Pascal Benchimol+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 44被引用 7

一句话总结

该论文通过构造一个在 $2r+2$ 个维度中具有 $3r+4$ 个约束的线性规划族，否定了霍奇猜想的连续类比，该族线性规划的中心路径总曲率达到了 $\Omega(2^r)$。作者利用热带几何分析经典中心路径的对数极限，表明热带中心路径捕捉了关键的几何特征，并可表现出指数曲率，与单纯形法的最坏情况行为相一致。

ABSTRACT

We disprove a continuous analogue of the Hirsch conjecture proposed by Deza, Terlaky and Zinchenko, by constructing a family of linear programs with $3r+4$ inequalities in dimension $2r+2$ where the central path has a total curvature in $\\Omega(2^r)$. Our method is to tropicalize the central path in linear programming. The tropical central path is the piecewise-linear limit of the central paths of parameterized families of classical linear programs viewed through logarithmic glasses. The lower bound for the classical curvature is obtained by developing a combinatorial concept of a tropical angle.

研究动机与目标

• 为反驳连续霍奇猜想的类比，该猜想认为线性规划中中心路径的总曲率在约束数量上是线性有界的。
• 开发一种基于经典中心路径在对数尺度下的极限的热带几何框架，用于分析线性规划中的中心路径。
• 证明热带中心路径独立于可行集的半空间表示，并通过热带重心对其进行表征。
• 证明热带中心路径可退化为类似于热带单纯形法的路径，暗示其具有最坏情况下的指数行为。
• 通过热带极限和组合热带角，提供经典中心路径曲率的构造性下界。

提出的方法

• 作者使用一个实值函数芽的哈代域 $\mathbb{K}$ 来定义在非阿基米德域上的线性规划，从而实现一个关于 $t \to \infty$ 的连续实线性规划族。
• 他们对中心路径应用赋值映射 $\operatorname{val}(f) = \lim_{t \to \infty} \log_t |f(t)|$，得到热带中心路径作为经典中心路径的对数极限。
• 热带中心路径在几何上被表征为可行集与由目标函数诱导的热带下水平集的交集的热带重心。
• 提出了一种类组合概念的“热带角”，用于量化热带中心路径上的转向角，从而实现曲率估计。
• 该构造使用一族具有 $3r+4$ 个不等式和 $2r+2$ 个变量的线性规划 $\mathbf{LP}_r(t)$，其设计使得热带中心路径在离散点处表现出交替的最大值。
• 建立了经典中心路径到热带中心路径的一致收敛性，误差界由约束矩阵的结构导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续霍奇猜想——即中心路径曲率在约束数量上线性有界——是否可被否定？
• RQ2 热带几何在多大程度上能捕捉经典中心路径在线性规划中渐近行为？
• RQ3 热带中心路径能否独立于可行集的半空间表示进行表征？
• RQ4 热带中心路径是否表现出与单纯形法相当的最坏情况行为？
• RQ5 为通过其热带极限下界估计经典中心路径的总曲率，需要哪些组合与几何工具？

主要发现

• 所构造族 $\mathbf{LP}_r(t)$ 的中心路径总曲率属于 $\Omega(2^r)$，从而否定了连续霍奇猜想。
• 热带中心路径的总曲率至少为 $(2^{r-1} - 1)\frac{\pi}{2}$，在 $2^{r-1}$ 个离散点处转向角恰好为 $\frac{\pi}{2}$。
• 热带中心路径是可行集与热带下水平集交集的热带重心，且独立于多面体的外部表示。
• 热带中心路径可退化为与热带单纯形法路径完全相同的路径，表明其可能具有指数级最坏情况行为。
• 当 $t$ 的数量级为 $2^{\Omega(r^2 2^r)}$ 时，经典中心路径的曲率达到 $\Omega(2^r)$，证实该下界在经典设定中是可实现的。
• 在修改后的线性规划中，对偶中心路径的曲率也至少为 $(2^r - 1)\frac{\pi}{2}$，将结果扩展至对偶路径。