[论文解读] A Truly Conformable Calculus on Time Scales

Benaoumeur Bayour, Ahmed Hammoudi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过定义一个新的共形δ导数算子Δ^α，在任意时标上提出了真正共形的微积分，该算子在α=0时退化为恒等算子，在α=1时退化为标准δ导数。主要贡献在于建立了一个统一的时标上共形微积分框架，推广了经典共形导数，并实现了对共形三角函数与双曲函数的研究，通过时标上的指数函数推导出线性共形动态方程的解。

ABSTRACT

We introduce the definition of conformable derivative on time scales and develop its calculus. Fundamental properties of the conformable derivative and integral on time scales are proved. Linear conformable differential equations with constant coefficients are investigated, as well as hyperbolic and trigonometric functions.

研究动机与目标

• 为解决现有时标上共形导数的局限性，即当α→0时无法退化为恒等算子。
• 开发一种真正共形的微积分，满足对任意时标上的右连续函数均有Δ^0f = f 且 Δ^1f = f^Δ。
• 将共形导数理论从实直线推广至一般时标，同时保持基本微积分性质。
• 通过时标上的指数函数建立共形三角函数与双曲函数，并推导其基本恒等式。

提出的方法

• 定义共形δ导数Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t)，其中κ₀与κ₁为满足特定极限条件的右连续函数。
• 通过要求lim_{α→0⁺} κ₁(α,t) = 1，lim_{α→0⁺} κ₀(α,t) = 0，lim_{α→1⁻} κ₁(α,t) = 0，以及lim_{α→1⁻} κ₀(α,t) = 1，确保Δ^α的共形性。
• 利用共形导数构造共形指数函数E_{ip}(·,t₀)，推广时标上的标准指数函数。
• 定义共形三角函数为cos_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) + E_{-iγ}(t,t₀))/2 与 sin_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) - E_{-iγ}(t,t₀))/(2i)。
• 推导基本恒等式，如cos²_{γΔ^α} + sin²_{γΔ^α} = E_{ip}(·,t₀)E_{-ip}(·,t₀)，并通过直接计算验证。
• 证明在非退化条件下，共形动态方程Δ^αΔ^αy + γ²y = 0的解为y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在时标上定义共形导数，使其在阶数α=0时退化为恒等算子，而在α=1时退化为标准δ导数？
• RQ2 系数κ₀(α,t)与κ₁(α,t)需满足何种必要且充分条件，才能确保导数算子Δ^α的共形性？
• RQ3 时标上的共形三角函数与双曲函数如何与标准指数函数相关联？
• RQ4 形如Δ^αΔ^αy + γ²y = 0的线性共形动态方程在时标上的通解结构为何？
• RQ5 在何种条件下，共形正弦与余弦函数的朗斯基行列式非零，从而保证其构成一组基本解？

主要发现

• 共形导数Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t) 满足Δ^0f = f 且 Δ^1f = f^Δ，从而在任意时标上建立了真正共形的微积分。
• 共形指数函数E_{ip}(t,t₀)通过共形导数定义，推广了时标上的标准指数函数。
• 共形三角函数满足恒等式cos²_{γΔ^α}(t,t₀) + sin²_{γΔ^α}(t,t₀) = E_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀)，推广了毕达哥拉斯恒等式。
• 在ℝ上，共形余弦与正弦函数分别退化为e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} cos(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds) 与 e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} sin(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds)。
• 在朗斯基行列式非零的条件下，共形动态方程Δ^αΔ^αy + γ²y = 0的通解为y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀)。
• 共形正弦与余弦函数的朗斯基行列式为γE_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀)，在条件κ²₀ - 2μκ₀κ₁ + μ²(γ² + κ²₁) ≠ 0下非零，从而保证线性无关性。