[论文解读] A Two-Parameter Family of Infinite-Dimensional Diffusions in the Kingman Simplex

Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2007

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文通过在对称函数的余代数上定义一个第二类微分生成元 $A$，构建了 Kingman 单形 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中的一族二维无限维扩散过程 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$。关键结果是，二维参数的 Pólya-Dirichlet 测度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ 是该过程唯一的不变且可逆的概率测度，谱间隙的存在性意味着过程的遍历性。

ABSTRACT

The aim of the paper is to introduce a two-parameter family of infinite-dimensional diffusion processes X(alpha,theta) related to Pitman's two-parameter Poisson-Dirichlet distributions PD(alpha,theta). The diffusions X(alpha,theta) are obtained in a scaling limit transition from certain finite Markov chains on partitions of natural numbers. The state space of X(alpha,theta) is an infinite-dimensional simplex called the Kingman simplex. In the special case when parameter alpha vanishes, our finite Markov chains are similar to Moran-type model in population genetics, and our diffusion processes reduce to the infinitely-many-neutral-alleles diffusion model studied by Ethier and Kurtz (1981). Our main results extend those of Ethier and Kurtz to the two-parameter case and are as follows: The Poisson-Dirichlet distribution PD(alpha,theta) is a unique stationary distribution for the corresponding process X(alpha,theta); the process is ergodic and reversible; the spectrum of its generator is explicitly described. The general two-parameter case seems to fall outside the setting of models of population genetics, and our approach differs in some aspects from that of Ethier and Kurtz. We also consider the case of degenerate series of parameters alpha and theta and conclude that the diffusions in finite-dimensional simplexes studied by Ethier and Kurtz (1981) arise as a special case of our two-parameter family of diffusions.

研究动机与目标

• 在无限维 Kingman 单形 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中构造一个连续时间马尔可夫过程，参数为 $\alpha \in [0,1)$ 且 $\theta > -\alpha$。
• 在 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中对称函数的余代数上定义一个第二类微分生成元 $A$，使用矩坐标 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$。
• 证明二维参数的 Pólya-Dirichlet 测度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ 是该过程唯一的不变概率测度。
• 证明由于生成元谱中存在谱间隙，该过程是遍历的。
• 通过从划分结构上的上下转移马尔可夫链的极限构造，统一种群遗传学中有限维扩散过程与无限维极限。

提出的方法

• 将无限维单形 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 定义为在 $[0,1]^\infty$ 中满足非递增且和不超过 1 的序列集合，赋予坐标收敛的拓扑。
• 引入由矩函数 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$ 生成的代数 $\mathcal{F} = \mathbb{R}[q_1, q_2, \dots]$，该代数在 $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ 中稠密。
• 使用生成元 $q_k$ 构造 $\mathcal{F}$ 上的正式第二类微分算子 $A$，其系数涉及 $\alpha$ 和 $\theta$，并分别以 $q_k$-坐标和自然 $x_i$-坐标表达。
• 证明算子 $A$ 在 $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ 中是可闭的，其闭包 $\overline{A}$ 生成一个具有连续样本路径的强马尔可夫过程。
• 通过从有限维划分结构 $\mathbb{K}_n$ 上的上下转移马尔可夫链的极限构造，其中测度 $M_n$ 对应该二维参数的 Ewens-Pitman 划分结构。
• 证明在 $\alpha = -\beta$，$\theta = N\beta$ 时，$\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 是有限维扩散 $\mathbf{Y}_{N,\eta}(t)$ 在 $\nabla_N$ 中的特例，且当 $N \to \infty$，$\beta \to 0$，$N\beta \to \eta$ 时，$\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 是这些过程的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限维 Kingman 单形 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中构造一族二维参数扩散过程，使得 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ 为 $0 \leq \alpha < 1$，$\theta > -\alpha$ 时的不变测度？
• RQ2 该扩散过程的生成元如何与矩坐标 $q_k(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i^{k+1}$ 相关联？能否同时以 $q_k$-坐标和 $x_i$-坐标表达？
• RQ3 无限维扩散 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 与种群遗传学中研究的 $\nabla_N$ 中的有限维扩散之间有何关系？
• RQ4 过程 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 是否具有谱间隙？这对其遍历性意味着什么？
• RQ5 该过程能否作为划分结构上有限马尔可夫链的极限构造？该构造如何推广 $\alpha = 0$ 时的已知结果？

主要发现

• 在代数 $\mathcal{F}$ 上定义的算子 $A$ 在 $C(\overline{\nabla}_{\infty})$ 中是可闭的，其闭包 $\overline{A}$ 生成一个在 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中具有连续样本路径的强马尔可夫过程。
• 二维参数的 Pólya-Dirichlet 测度 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ 是 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 唯一的不变概率测度，且该过程关于此测度是可逆的。
• 生成元 $\overline{A}$ 的谱被明确描述，谱间隙的存在性意味着该过程相对于 $\mathrm{PD}(\alpha,\theta)$ 是遍历的。
• 在 $\alpha = -\beta$，$\theta = N\beta$，且 $\beta \to 0$，$N \to \infty$，$N\beta \to \eta > 0$ 时，先前在种群遗传学中研究的有限维扩散 $\mathbf{Y}_{N,\eta}(t)$ 在 $\nabla_N$ 中作为 $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 的特例被恢复。
• $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}(t)$ 作为划分结构上上下转移马尔可夫链的极限而出现，其转移算子在 $n \to \infty$ 时收敛于 $\mathcal{F}_N$-代数中的生成元 $A_{N,\beta(N-1)}$，确认了与有限维模型的一致性。
• $\mathbf{X}_{-\beta,N\beta}(t)$ 在 $\nabla_N$ 中的收敛性趋于 $\mathbf{X}_{0,\eta}(t)$ 在 $\overline{\nabla}_{\infty}$ 中的极限，加强了不变测度的收敛性，确认了无限维极限的一致性。