[论文解读] A Unified Analysis of Nonconforming Virtual Element Methods for Convection Diffusion Reaction Problem

Dibyendu Adak, E. Natarajan|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对对流占主导的对流-扩散-反应问题的稳定非协调虚拟元方法（VEM），采用 $L^2$-投影算子以确保稳定性与多项式一致性。该框架在扩散系数趋于零的极限下实现最优收敛性，且可通过自由度计算而无需显式使用基函数，但收敛性要求多项式次数 $k \geq 2$ 且源项具有更高的正则性。

ABSTRACT

We discuss nonconforming virtual element method for convection dominated (diffusive coefficient is very small compared to convective coefficient and reac- tion coefficient ) convection-diffusion-reaction equation using L^2 projection operator.In this paper we stabilize the stabilization terms using same technique which is used for stabilization of symmetric part in VEM, where T is an arbitrary element, and assume H^2(T) regularity on each element to prove polynomial consistency where v_h is approximate solution.We have shown that linear nonconforming VE is not convergent for convection dominated convection-diffusion reaction problem and higher regu larity of f ,source term is also needed for convergence analysis.The novelty of this paper is we introduce a new SDFEM type nonconforming virtual element method for convection-dominated convection diffusion reaction equation, and discuss the computability issue using degrees of freedom of element without explicit knowledge of basis functions of virtual element methods.The present framework is stable in the limit of vanishing diffusion.

研究动机与目标

• 开发一种针对小扩散对流-扩散-反应问题的稳定非协调虚拟元方法。
• 通过流线扩散型稳定化方法，解决标准 Galerkin 方法中出现的非物理振荡。
• 利用 $L^2$-投影与对离散解的更高正则性假设，确保多项式一致性和稳定性。
• 仅通过自由度实现方法的可计算性，避免显式依赖基函数知识。
• 在对源项和网格的最小假设下，证明收敛性与先验误差估计。

提出的方法

• 该方法采用 $L^2$-投影算子，以稳定由对流项与反应项引起的非对称双线性形式。
• 稳定项的构造方法与 VEM 中对称部分的处理方式一致，具体为 $\int_T (\vec{b} \cdot \nabla u)(\vec{b} \cdot \nabla v)$。
• 在假设 $v_h|_T \in H^2(T)$ 的条件下证明多项式一致性，而收敛性则需更高正则性 $H^3(T)$。
• 通过采用与网格相关的范数分析离散双线性形式，以建立强制性与有界性。
• 计算过程依赖于自由度来计算矩与投影，避免显式使用基函数。
• 框架利用椭圆投影算子计算次数不超过 $k-2$ 的多项式 $L^2$-投影，对更高次多项式通过近似方法扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 $L^2$-投影稳定对流占主导的对流-扩散-反应问题的非协调虚拟元方法？
• RQ2 在非对称问题中，使用 $L^2$-投影的非协调 VEM 是否可实现多项式一致性？
• RQ3 该方法在扩散系数趋于零（$\epsilon \to 0$）的极限下是否仍保持稳定与收敛？
• RQ4 是否所有离散双线性形式中的项均可仅通过自由度计算，而无需显式基函数？
• RQ5 收敛性所需的正则性假设为何？线性非协调 VEM 在此情境下是否失效？

主要发现

• 线性非协调虚拟元在对流占主导问题中不收敛，收敛性要求多项式次数 $k \geq 2$。
• 在假设源项 $f$ 属于每个单元 $T$ 上的 $H^s(T)$ 且 $s \geq 1$ 的条件下，方法实现最优收敛速率。
• $L^2$-投影算子使得即使在小扩散极限下，也能对非对称双线性形式实现稳定且一致的分析。
• 所有离散双线性形式中的项均可仅通过自由度计算，证实了该方法的实际可行性。
• 该框架在与网格相关的范数下保持稳定与强制性，确保对对流占主导问题的鲁棒性。
• 通过剖分检验控制一致性误差，考虑了内部边界处的非协调性。