[论文解读] A unifying theory for multivariate polynomial interpolation on general Lissajous-Chebyshev nodes

Peter Dencker, Wolfgang Erb|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一套统一的理论框架，用于在一般的利萨茹-切比雪夫节点集上进行多元多项式插值，统一了帕杜亚点、莫罗-帕特森-徐点以及非退化的利萨茹曲线。通过引入谱指标集和离散正交结构，作者证明了插值的唯一性，并推导出高效的计算方案，表明Lebesgue常数渐近增长速率与张量积情形相同。

ABSTRACT

The goal of this article is to provide a general multivariate framework that synthesizes well-known non-tensorial polnomial interpolation schemes on the Padua points, the Morrow-Patterson-Xu points and the Lissajous node points into a single unified theory. The interpolation nodes of these schemes are special cases of the general Lissajous-Chebyshev points studied in this article. We will characterize these Lissajous-Chebyshev points in terms of Lissajous curves and Chebyshev varieties and derive a general discrete orthogonality structure related to these points. This discrete orthogonality is used as the key for the proof of the uniqueness of the polynomial interpolation and the derivation of a quadrature rule on these node sets. Finally, we give an efficient scheme to compute the polynomial interpolants.

研究动机与目标

• 将非张量积的多元多项式插值方案——特别是帕杜亚点、莫罗-帕特森-徐点以及利萨茹-切比雪夫节点——统一到一个单一的理论框架中。
• 通过利萨茹曲线和切比雪夫代数曲线对插值节点进行表征，实现对非张量积节点集的一般化处理。
• 在这些节点集上建立离散正交结构，以保证插值的唯一性并支持高效计算。
• 利用离散正交结构在利萨茹-切比雪夫节点集上推导出一种求积规则。
• 提供一种高效算法来计算插值多项式，保持张量积设置下的计算效率。

提出的方法

• 引入一般化的利萨茹-切比雪夫节点集 $\underline{\boldsymbol{\operatorname{LC}}}^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}}$ 作为统一的插值节点类。
• 通过利萨茹曲线和切比雪夫代数曲线对节点进行表征，将其与多元正交结构联系起来。
• 基于 $\underline{\boldsymbol{m}}$ 和 $\underline{\boldsymbol{\kappa}}$ 定义谱指标集，以指定插值相关的多项式空间。
• 利用切比雪夫多项式的性质和利萨茹曲线的对称性，在节点集上建立离散正交结构。
• 利用离散正交性证明在所定义多项式空间中插值解的唯一性。
• 通过类比离散余弦变换的变换方法，开发一种高效算法来计算插值多项式，充分利用正交结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将帕杜亚点和莫罗-帕特森-徐点等非张量积的多元插值方案统一到一个单一的理论框架下？
• RQ2 利萨茹-切比雪夫节点集在利萨茹曲线和切比雪夫代数曲线的视角下，其几何与代数特性如何表征？
• RQ3 如何在一般利萨茹-切比雪夫节点集上构建离散正交结构，以保证插值的唯一性？
• RQ4 在这些节点集上计算插值多项式的计算复杂度是多少？能否实现与张量积情形相当的高效性？
• RQ5 在这些非张量积节点集上，插值的Lebesgue常数的渐近行为如何？

主要发现

• 在一般利萨茹-切比雪夫节点集 $\underline{\boldsymbol{\operatorname{LC}}}^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}}$ 上，基于谱指标集定义的多项式空间中，插值问题具有唯一解。
• 在节点集上建立了离散正交结构，这是证明唯一性并推导求积规则的关键。
• 在这些节点集上插值的Lebesgue常数渐近增长速率与张量积情形相同，表明具有最优的数值稳定性。
• 推导出一种高效算法来计算插值多项式，该算法利用离散正交性，并具有类似于离散余弦变换的结构。
• 在非退化利萨茹曲线的特定条件下，节点集的大小为 $\#Γ^{(\underline{\boldsymbol{m}})}_{\underline{\boldsymbol{\kappa}}} = \frac{1}{2^{\mathsf{d}-1}}\left(\operatorname{p}[\underline{\boldsymbol{m}}+\underline{\boldsymbol{1}}] - \prod_{\mathsf{i}\notin\{\mathsf{g},\mathsf{g}'\}}(n_{\mathsf{i}}+1)\right)$。
• 该理论统一了已知的插值方案：帕杜亚点作为退化的利萨茹曲线出现，而莫罗-帕特森-徐点则是该通用框架的特例。