[论文解读] Bivariate Lagrange interpolation at the node points of non-degenerate Lissajous curves

Wolfgang Erb, Christian Kaethner+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于非退化Lissajous曲线节点点的双变量Lagrange插值框架，推广了Padua点理论。该研究在定义良好的多项式空间中建立了唯一插值，推导出Lagrange基多项式的显式公式，实现了高效计算，并展示了与Padua点和Xu点相当的近似误差及Lebesgue常数增长（O(log²n)），验证了其在磁性粒子成像（Magnetic Particle Imaging, MPI）等应用中的适用性。

ABSTRACT

Motivated by an application in Magnetic Particle Imaging, we study bivariate Lagrange interpolation at the node points of Lissajous curves. The resulting theory is a generalization of the polynomial interpolation theory developed for a node set known as Padua points. With appropriately defined polynomial spaces, we will show that the node points of non-degenerate Lissajous curves allow unique interpolation and can be used for quadrature rules in the bivariate setting. An explicit formula for the Lagrange polynomials allows to compute the interpolating polynomial with a simple algorithmic scheme. Compared to the already established schemes of the Padua and Xu points, the numerical results for the proposed scheme show similar approximation errors and a similar growth of the Lebesgue constant.

研究动机与目标

• 开发非退化Lissajous曲线节点点上的双变量Lagrange插值理论，动机源于磁性粒子成像（Magnetic Particle Imaging, MPI）的应用。
• 将Padua点插值框架推广至更广泛的非退化Lissajous曲线类别，超越退化情形。
• 确保在明确定义的多项式空间Πⁿᵖᴸ中实现唯一插值，并推导出计算插值多项式的高效算法方案。
• 分析Lebesgue常数与近似误差行为，将新方案与已建立的Padua点和Xu点方法进行比较。

提出的方法

• 表征非退化Lissajous曲线γₙ,ₚ(t) = (sin(nt), sin((n+p)t))的节点点Lisaₙ,ₚ，其中p为奇数且gcd(n, n+p) = 1。
• 定义适合在Lisaₙ,ₚ节点点上实现唯一插值的双变量多项式空间Πⁿᵖᴸ。
• 推导出每个节点点a ∈ Lisaₙ,ₚ处基本Lagrange多项式Lₐ(𝐱)的显式闭式公式，实现快速计算。
• 基于Lisaₙ,ₚ节点集构造具有乘积Chebyshev权函数的求积规则。
• 利用显式Lagrange基公式，实现类似于Padua点方法的算法方案，以实现高效插值。
• 通过多个测试函数和多项式次数，对插值误差和Lebesgue常数进行数值比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 非退化Lissajous曲线的节点点是否能在明确定义的多项式空间中支持唯一双变量Lagrange插值？
• RQ2 所提出的插值方案是否具有O(log²n)增长速率的Lebesgue常数，与Padua点和Xu点方法相当？
• RQ3 能否为Lisaₙ,ₚ节点集推导出显式且计算高效的Lagrange基多项式公式？
• RQ4 Lisaₙ,ₚ插值方案在标准测试函数上的近似误差与Padua点和Xu点方法相比如何？
• RQ5 参数p对插值性能和Lebesgue常数增长有何影响？

主要发现

• 非退化Lissajous曲线的节点点Lisaₙ,ₚ可在多项式空间Πⁿᵖᴸ中实现唯一插值，确保插值问题适定。
• 推导出Lagrange基多项式Lₐ(𝐱)的显式公式，可实现类似Padua点方法的高效算法计算插值多项式。
• Lisaₙ,ₚ点的Lebesgue常数Λⁿ,ₚᴸ渐近增长为O(log²n)，与Padua点和Xu点方案的增长速率一致。
• 数值实验表明，Lisaₙ,ₚ方案的最大插值误差在所有测试函数和多项式次数下，其量级和变化趋势与Padua点和Xu点方案相当。
• 参数p对插值误差和Lebesgue常数增长的影响可忽略不计，表明该方法在不同Lissajous曲线配置下具有鲁棒性。
• 所提方案在近似精度和Lebesgue常数行为方面与成熟方法相当，验证了其在实际应用（如磁性粒子成像）中的潜力。