[论文解读] A Universal Characterisation of Codescent Objects

Alexander S. Corner|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了外伪自然变换（extrapseudonatural transformations）作为外自然变换的二维推广，利用其对双范畴中的余下降对象（codescent objects）提供了普遍刻画。通过证明在适当条件下迭代余下降对象是等价的，建立了余下降对象的Fubini定理，将共端Fubini定理推广至高维设置。

ABSTRACT

In this work we define a 2-dimensional analogue of extranatural transformation and use these to characterise codescent objects. They will be seen as universal objects amongst extrapseudonatural transformations in a similar manner in which coends are universal objects amongst extranatural transformations. Some composition lemmas concerning these transformations are introduced and a Fubini theorem for codescent objects is proven using the universal characterisation description.

研究动机与目标

• 通过伪函子和双范畴，将外自然变换的概念推广至二维设置。
• 将外伪自然变换定义并形式化为刻画余下降对象的基础工具。
• 建立类似于通过外自然变换刻画共端的普遍性质的双余下降对象（bicodescent objects）的普遍性质。
• 证明一个类Fubini的定理于余下降对象，表明在适当条件下，迭代余下降构造是等价的。

提出的方法

• 将外伪自然变换引入为外自然变换的弱二维推广，涉及伪函子和可逆2-胞状（2-cells）。
• 将双余下降对象定义为在外伪自然变换中具有普遍性的对象，同时捕捉一维和二维的普遍性质。
• 利用协调同构和粘贴图验证外伪自然变换的公理，特别是可逆2-胞状的EB2公理。
• 构造协调细胞的复合，以关联迭代余下降对象，证明共端类构造的顺序可交换。
• 利用余下降对象的普遍性质，证明复合变换满足所需的伴随等价性。
• 将Fubini定理应用于双余下降和余下降对象，注意到余下降对象满足更强的唯一性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将外自然变换推广至二维范畴设置，以描述高维上积（colimits）？
• RQ2 在双范畴中，何种普遍性质刻画了余下降对象，类似于共端的普遍性质？
• RQ3 能否为余下降对象建立一个Fubini定理，使得迭代余下降构造可以交换？
• RQ4 在何种条件下，迭代余下降对象在伴随等价意义下彼此等价？
• RQ5 双余下降对象在普遍性质和协调性方面，与余下降对象有何关系？

主要发现

• 外伪自然变换被定义为外自然变换的二维类比，为高维普遍构造提供了框架。
• 双余下降对象被刻画为在外伪自然变换中具有普遍性的对象，推广了共端在1-范畴论中的作用。
• 证明了余下降对象的Fubini定理，表明 ∫^a∫^b P(a,b,a,b) ≃ ∫^b∫^a P(a,b,a,b)，通过伴随等价性实现。
• 该等价性通过满足可逆2-胞状EB2公理的协调同构与粘贴图的复合建立。
• 该结果适用于双余下降和余下降对象，其中余下降对象满足更强的唯一性条件。
• 证明依赖于余下降对象的普遍性质以及伪函子的协调性，确保迭代构造的交换性是良定义的。