[论文解读] A Universal Fractional Model of Wall-Turbulence

Fangying Song, George Em Karniadakis|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于壁面湍流的通用变阶分数阶模型（VFM），采用与距离相关的阶数 α(y) 的非局部分数阶导数，该阶数从壁面处的 1 逐渐衰减至中心线处的较低值。该模型在不同雷诺数下对通道流、管道流和库埃特流的平均速度剖面预测准确，展现出统一的 α(y) 函数，并通过捕捉非局部湍流相互作用和可变扩散率，与直接数值模拟（DNS）及实验数据（包括普林斯顿超管实验结果）相比表现出更优的一致性。

ABSTRACT

Modeling of wall-bounded turbulent flows is still an open problem in classical physics, with only modest progress made in the last few decades beyond the so-called `log law', which describes only the intermediate region in wall-bounded turbulence, i.e., $30-50 y^+ ext{ to } 0.1-0.2 R^+$ (in wall units) in a pipe of radius $R$. Here we propose a fundamentally new approach based on fractional calculus to model the {\em entire} mean velocity profile from the wall to the centerline of the pipe. Specifically, we represent the Reynolds stresses with a non-local fractional derivative of {\em variable order} that decays with the distance from the wall. Surprisingly, we find that this variable fractional order has a universal form for all Reynolds numbers and for three different flow types, i.e., channel flow, Couette flow, and pipe flow. We first use existing data bases from direct numerical simulations (DNS) to learn the variable fractional order function, and subsequently we test it against other DNS data and experimental measurements, including the Princeton superpipe experiments. Taken together, our findings reveal the continuous and decaying change of rate of turbulent diffusion from the wall as well as the strong non-locality of turbulent interactions that intensify away from the wall.

研究动机与目标

• 解决长期以来在经典对数律之外对壁面湍流整个平均速度剖面建模的挑战。
• 通过引入变阶分数阶微积分实现非局部性，以克服局部湍流模型的局限性。
• 为通道流、管道流和库埃特流开发一种与雷诺数无关的通用模型，采用分数阶导数。
• 利用多种数据集（包括DNS和实验测量，如普林斯顿超管实验）对模型进行验证。
• 通过分数阶 α(y) 揭示湍流扩散可变性和非局部相互作用的物理根源。

提出的方法

• 建立形式为 ν₀∂²U/∂y² + ν(y)Dᵧ^{α(y)}U = f 的变阶分数阶微分方程，其中 Dᵧ^{α(y)} 为Caputo分数阶导数。
• 将湍流扩散率 ν(y) 定义为 ν(y) = fΓ(2−α(y))Reₜ⁻^{α(y)}V/uₜ，使其与 α(y) 直接关联。
• 从多个雷诺数和流型的直接数值模拟（DNS）数据中学习变分数阶阶数 α(y)。
• 通过优化将 α(y) 拟合至DNS数据，随后在未见的DNS和实验数据上验证模型。
• 在壁面单位和外单位下，将模型应用于通道流、管道流和库埃特流，实现统一标度。
• 通过 α(y) 的分段线性近似测试模型鲁棒性，并对比预测的速度和剪切应力剖面。

实验结果

研究问题

• RQ1 变阶分数阶导数模型能否在不同流型下捕捉壁面湍流的整个平均速度剖面？
• RQ2 是否存在一种适用于不同雷诺数和流型几何的通用变分数阶阶数 α(y) 功能形式？
• RQ3 与经典模型（如对数律和Spalding剖面）相比，所提出的模型在预测速度和剪切应力方面表现如何？
• RQ4 该分数阶模型在多大程度上能捕捉非局部湍流相互作用和可变扩散率？
• RQ5 该模型能否在无需微调的情况下泛化至实验数据（如普林斯顿超管实验）？

主要发现

• 变分数阶阶数 α(y) 展现出一种通用衰减特性：在壁面处 α(0) = 1，向中心线逐渐降低，且与雷诺数和流型无关。
• 该模型在通道流中对 Reₜ = 180 至 8600 的平均速度剖面预测高度准确，与DNS和实验数据高度一致。
• 在 Reₜ = 4200 时，模型在未受该雷诺数训练的情况下仍能准确预测速度剖面，表现出良好泛化能力。
• 该模型预测的雷诺剪切应力剖面在 Reₜ = 180 至 4200 范围内与DNS数据高度吻合，证实其物理一致性。
• 在湍流库埃特流中，VFM在 Reₜ = 52 至 250 范围内准确预测了平均速度和剪切应力，与DNS和实验数据一致。
• 在管道流中，该模型在广泛雷诺数范围内对速度剖面的捕捉优于Spalding剖面和双对数拟合。