[论文解读] A vanishing Ext-branching theorem for $(\mathrm{GL}_{n+1}(F), \mathrm{GL}_n(F))$

Kei Yuen Chan, Gordan Savin|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文证明了Dipendra Prasad的猜想：当$F$为$p$-进域时，$\mathrm{GL}₂n+1(F)$的通用表示限制到$\mathrm{GL}₃n(F)$时，其正度数的Ext群为零。作者通过一种新颖的左、右Bernstein-Zelevinsky导数理论，证明了$\mathrm{GL}₂n+1(F)$的几乎平方可积表示作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模是投射的，从而在不假设目标表示为通用表示的前提下，推导出高阶Ext群的消失性。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Dipendra Prasad on the Ext-branching problem from $\mathrm{GL}_{n+1}(F)$ to $\mathrm{GL}_n(F)$, where $F$ is a $p$-adic field.

研究动机与目标

• 证明Dipendra Prasad的猜想：当$\pi₁$和$\pi₂$分别为$\mathrm{GL}₂n+1(F)$和$\mathrm{GL}₃n(F)$的通用表示时，有$\mathrm{Ext}₃i₋₁\u005Cmathrm{GL}₃n(F)(\pi₁, \pi₂) = 0$对所有$i > 0$成立。
• 建立$\mathrm{GL}₂n+1(F)$的几乎平方可积表示作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模的投射性，从而在不需假设目标表示为通用表示的前提下，推导出高阶Ext群的消失性。
• 发展关于镜像抛物子群及其转置的左、右Bernstein-Zelevinsky导数理论，以实现对限制问题更强的组合控制。
• 证明Bernstein-Zelevinsky导数的第二个伴随同构：$(\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee)$，该同构关系将一个表示及其对偶的左、右导数联系起来，并在导范畴中建立关键的对偶性质。

提出的方法

• 引入关于镜像抛物子群$M_{n+1}^\top$的左导数，以补充关于$M_{n+1}$的标准右导数，从而对限制滤子获得更强的控制。
• 利用Bernstein-Zelevinsky滤子分析$\mathrm{GL}₂n+1(F)$的光滑表示$\pi₁$限制到$\mathrm{GL}₃n(F)$时的情形，证明其最底层部分为Gelfand-Graev表示。
• 利用Gelfand-Graev表示的投射性以及Whittaker模型的无重性，推导出通用表示的高阶Ext群消失。
• 证明第二个伴随同构：$(\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee)$，该同构对由$K_r$-固定向量生成的表示成立，使用了先前工作的Hecke代数技术。
• 应用诱导表示理论与Whittaker泛函，证明若$\mathrm{Hom}₃G({\rm ind}₅U₆^G \psi_U, \pi) \neq 0$，则$\pi$必须具有非零Whittaker泛函，从而将表示论数据与调和分析数据联系起来。
• 利用$\mathrm{ind}₅H₅s₆^G(\psi_s)_c$仅有不可约商的条件，当$\mathrm{Hom}₃G(\sigma \otimes \mathrm{ind}₅U₆^G \psi_U, \pi) \neq 0$时，若Whittaker维数过小则导出矛盾，从而控制$\pi$的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\pi₁$和$\pi₂$分别为$\mathrm{GL}₂n+1(F)$和$\mathrm{GL}₃n(F)$的通用表示时，$\mathrm{Ext}₃i₋₁\u005Cmathrm{GL}₃n(F)(\pi₁, \pi₂)$是否在$i > 0$时消失？
• RQ2 在何种条件下，$\mathrm{GL}₂n+1(F)$的几乎平方可积表示作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模是投射的？
• RQ3 Bernstein-Zelevinsky导数理论能否扩展至包含关于$M_{n+1}^\top$的左导数？它们与右导数如何相互作用？
• RQ4 是否存在一个关于表示及其对偶的左、右导数的第二个伴随同构？该同构是否对由$K_r$-固定向量生成的表示成立？
• RQ5 一个表示的Whittaker模型维数与其与另一表示的Ext群维数之间有何关系？

主要发现

• 证明了Dipendra Prasad的猜想：当$\pi₁$和$\pi₂$均为$\mathrm{GL}₂n+1(F)$和$\mathrm{GL}₃n(F)$的通用表示时，$\mathrm{Ext}₃i₋₁\u005Cmathrm{GL}₃n(F)(\pi₁, \pi₂) = 0$对所有$i > 0$成立。
• $\mathrm{GL}₃n(F)$的Gelfand-Graev表示作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模是投射的，这意味着任何具有Whittaker泛函的表示的高阶Ext群均消失。
• $\mathrm{GL}₂n+1(F)$的每一个几乎平方可积表示作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模都是投射的，且这些表示在$\mathrm{GL}₃n(F)$-模意义下彼此同构。
• 第二个伴随同构$(\pi^{(i)})^\vee \cong {}^{(i)}(\pi^\vee)$对由$K_r$-固定向量生成的表示$\pi$成立，这是证明中的关键技术工具。
• 通用表示$\pi₁$限制到$\mathrm{GL}₃n(F)$时，其Bernstein-Zelevinsky滤子的最底层为Gelfand-Graev表示，且高阶Ext群的消失性由该部分的投射性所决定。
• 证明表明，若$\pi₁$为几乎平方可积表示，则对所有$i > 0$和所有$\pi₂$，有$\mathrm{Ext}₃i₋₁\u005Cmathrm{GL}₃n(F)(\pi₁, \pi₂) = 0$，即使$\pi₂$为退化表示，这归因于$\pi₁$作为$\mathrm{GL}₃n(F)$-模的投射性。