[论文解读] A variational approach to the mean field planning problem

Carlo Orrieri, Alessio Porretta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过凸分析与最优传输理论，提出了一种用于一阶平均场规划问题的变分框架。通过将系统表述为原始熵-传输问题与对偶哈密顿-雅可比优化之间的对偶关系，作者利用接触-缺陷测度和重整化解，建立了弱解的存在性与部分唯一性，且通过路径空间上的动态计划实现了拉格朗日表征。

ABSTRACT

We investigate a first-order mean field planning problem of the form \begin{equation} \left\lbrace\begin{aligned} -\partial_t u + H(x,Du) &= f(x,m) && ext{in } (0,T) imes \mathbb{R}^d, \\ \partial_t m - abla\cdot (m\,H_p(x,Du)) &= 0 && ext{in }(0,T) imes \mathbb{R}^d,\\ m(0,\cdot) = m_0, \; m(T,\cdot) &= m_T && ext{in } \mathbb{R}^d, \end{aligned} ight. \end{equation} associated to a convex Hamiltonian $H$ with quadratic growth and a monotone interaction term $f$ with polynomial growth. We exploit the variational structure of the system, which encodes the first order optimality condition of a convex dynamic optimal entropy-transport problem with respect to the unknown density $m$ and of its dual, involving the maximization of an integral functional among all the subsolutions $u$ of an Hamilton-Jacobi equation. Combining ideas from optimal transport, convex analysis and renormalized solutions to the continuity equation, we will prove existence and (at least partial) uniqueness of a weak solution $(m,u)$. A crucial step of our approach relies on a careful analysis of distributional subsolutions to Hamilton-Jacobi equations of the form $-\partial_t u + H(x,Du) \leq α$, under minimal summability conditions on $α$, and to a measure-theoretic description of the optimality via a suitable contact-defect measure. Finally, using the superposition principle, we are able to describe the solution to the system by means of a measure on the path space encoding the local behavior of the players.

研究动机与目标

• 建立具有二次哈密顿量和单调相互作用的一阶平均场规划问题的变分结构。
• 在最优传输背景下，利用对偶性与凸分析，证明弱解的存在性与部分唯一性。
• 通过路径空间上的测度，以拉格朗日视角表征解。
• 在源项的可 summability 假设最弱的条件下，分析哈密顿-雅可比方程的弱次解。
• 引入接触-缺陷测度，以描述变分框架中最优性条件。

提出的方法

• 将平均场规划系统表述为凸动态最优熵-传输问题的一阶最优性条件。
• 利用原始问题（最小化熵-传输成本）与对偶问题（在哈密顿-雅可比方程的次解上最大化积分泛函）之间的对偶性。
• 采用连续性方程的重整化解处理低正则性密度与通量。
• 引入接触-缺陷测度，以捕捉最优性下次解与哈密顿-雅可比方程之间的偏差。
• 应用叠加原理，将解从欧几里得框架提升至拉格朗日框架，将解表征为路径空间上的测度。
• 使用各向异性卷积与加权 $L^p$ 空间，处理测度收敛性与次解的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有首阶哈密顿量与终端约束的平均场规划问题，能否被重新表述为凸变分问题？
• RQ2 在源项的可 summability 假设最弱的条件下，如何分析哈密顿-雅可比方程的弱次解？
• RQ3 接触-缺陷测度在变分框架中表征最优性时起什么作用？
• RQ4 如何通过动态计划在拉格朗日设定下表征平均场规划系统的解？
• RQ5 原始问题与对偶问题之间的对偶性在何种条件下能保证解的存在性与部分唯一性？

主要发现

• 在哈密顿量为凸且具有二次增长、$f$ 为单调且多项式增长的条件下，建立了平均场规划系统弱解 $(m, u)$ 的存在性。
• 该解作为具有熵正则化的凸动态最优传输问题的最小化器而出现。
• 对偶问题在哈密顿-雅可比方程的次解上最大化一个积分泛函，最优性由接触-缺陷测度表征。
• 接触-缺陷测度以测度形式捕捉次解未能满足哈密顿-雅可比方程的偏差，从而实现精确的对偶描述。
• 通过叠加原理实现了解的拉格朗日表征，将解与路径空间上的概率测度联系起来。
• 在哈密顿-雅可比不等式右端项的可 summability 条件最弱的假设下，证明了弱次解的稳定性和收敛性结果。