[论文解读] A variational representation and large deviations for functionals of G-Brownian motion

Fuqing Gao|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在子线性 $G$-期望框架下，通过有限维逼近技术，为 $G$-布朗运动泛函建立了变分表示，克服了经典方法（如 Clark-Ocone 公式）的局限性。作为应用，它证明了由 $G$-布朗运动驱动的随机流的大偏差原理，为 Boué-Dupuis 变分表示提供了新证明，并将大偏差理论扩展至非线性期望。

ABSTRACT

A variational representation for functionals of G-Brownian motion is established by a finite-dimensional approximate technique. As an application of the variational representation, we obtain a large deviation principle for stochastic flows driven by G-Brownian motion.

研究动机与目标

• 在子线性 $G$-期望框架下，为 $G$-布朗运动泛函建立变分表示。
• 克服经典工具（如 Clark-Ocone 公式和可测选择）在 $G$-随机微积分中不适用的问题。
• 为由 $G$-布朗运动驱动的随机流建立大偏差原理。
• 利用 $G$-框架技术，为经典 Boué-Dupuis 变分表示提供新证明。

提出的方法

• 开发有限维逼近技术，以处理 $G$-期望的复杂性，使泛函可通过 $G$-随机微分方程序列逼近。
• 利用 $G$-Girsanov 变换证明大偏差原理中的下界。
• 应用 Gronwall 引理，建立有限维逼近方案中逼近过程的一致收敛性。
• 在 $G$-期望下应用改进的 Kolmogorov 准则，证明随机过程族的紧致性。
• 利用有界逼近与拟连续性，处理 $\mathbb{E}^G$ 下的分布收敛。
• 通过适应控制 $\eta \in (M^2(0,T))^d$ 上的上确界，导出变分表示，其中包含二次控制项 $H_T^G(\eta)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏 Clark-Ocone 公式和可测选择的条件下，能否为 $G$-布朗运动泛函建立变分表示？
• RQ2 在模型不确定性下，如何推导由 $G$-布朗运动驱动的随机流的大偏差？
• RQ3 在 $G$-期望下，有限维逼近技术能否为经典 Boué-Dupuis 变分表示提供新证明？
• RQ4 在 $\mathbb{E}^G$ 下，哪些条件能保证 $G$-随机过程的紧致性与一致收敛性？

主要发现

• 建立了变分表示：$\mathbb{E}^G(e^{\Phi(B)}) = \exp\left\{\sup_{\eta \in (M^2(0,T))^d} \mathbb{E}^G\left(\Phi(B^\eta) - H_T^G(\eta)\right)\right\}$，其中 $B^\eta_t = B_t + \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$。
• 有限维逼近技术成功通过逼近 $G$-SDE，证明了大偏差原理中的上界。
• 通过 $G$-Girsanov 变换与有界逼近，证明了下界，确保了大偏差原理的有效性。
• 利用 $G$-期望下的 Kolmogorov 准则版本，建立了过程族 $\{Y_{\lambda,\epsilon}\}$ 的紧致性。
• 在 $\mathbb{E}^G$ 下实现了分布的一致收敛，满足 $\lim_{\epsilon \to 0} \sup_{\lambda} \mathbb{E}^G(|\Phi(Y_{\lambda,\epsilon}) - \Phi(Y_\lambda)|) = 0$。
• 结果为经典 Boué-Dupuis 变分表示提供了新证明，将其有效性扩展至 $G$-框架。