[论文解读] Wellposedness of Second Order Backward SDEs

H. Meté Soner, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文为二阶倒向SDE（2BSDEs）建立了完整的存在性与唯一性理论，通过非支配的相互奇异概率测度族，将经典BSDEs推广至完全非线性PDEs。核心贡献在于提出一个完全非线性的Feynman-Kac公式，并基于最优控制的随机表征，证明在适当条件下，马氏2BSDE解为完全非线性PDEs的粘性解。

ABSTRACT

We provide an existence and uniqueness theory for an extension of backward SDEs to the second order. While standard Backward SDEs are naturally connected to semilinear PDEs, our second order extension is connected to fully nonlinear PDEs, as suggested by Cheridito et.al. In particular, we provide a fully nonlinear extension of the Feynman-Kac formula. Unlike the earlier papers, the alternative formulation of this paper insists that the equation must hold under a non-dominated family of mutually singular probability measures. The key argument is a stochastic representation, suggested by the optimal control interpretation, and analyzed in our accompanying paper

研究动机与目标

• 解决在完全非线性PDE框架下二阶倒向SDE（2BSDEs）的存在性问题的开放难题。
• 通过二阶SDE框架，将经典Feynman-Kac公式推广至完全非线性PDEs。
• 利用最优控制解释与非支配概率测度族，建立2BSDE解的随机表征。
• 在适当条件下，证明马氏2BSDE解对应于完全非线性PDEs的粘性解。
• 在适当范数下，定义有界一致连续函数的闭包，以将解理论扩展至非光滑终端条件。

提出的方法

• 提出2BSDEs的新表述形式，要求方程在非支配的相互奇异概率测度族下几乎必然成立。
• 利用源自最优控制理论的随机表征，受Peng的G-随机微积分与Denis & Martini的准必然分析的启发。
• 将解空间定义为有界一致连续函数在特定范数下的闭包，从而可扩展至较不规则的终端条件。
• 通过随机指数应用局部鞅表示与Girsanov型变换，推导先验估计。
• 通过局部化与Itô公式推导解过程的先验界，确保可积性与稳定性。
• 通过有界一致连续终端数据的2BSDE序列的极限构造解，利用逼近法证明存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Cheridito等人（2007）的存在性结果之外，为二阶倒向SDEs建立适定性理论？
• RQ2 如何形式化2BSDEs与完全非线性PDEs之间的联系，以推广经典Feynman-Kac公式？
• RQ3 非支配的相互奇异测度族在确保解的唯一性与鲁棒性方面起到何种作用？
• RQ4 马氏2BSDE的解能否被表征为完全非线性PDEs的粘性解？
• RQ5 如何将解理论从有界一致连续终端条件扩展至更广泛的随机变量类？

主要发现

• 本文在非支配的相互奇异概率测度族下，建立了二阶倒向SDEs解的存在性与唯一性。
• 证明了Feynman-Kac公式的完全非线性推广，将2BSDEs与完全非线性PDEs的粘性解联系起来。
• 在适当的正则性与有界性条件下，证明马氏2BSDE解为相应完全非线性PDEs的粘性解。
• 解空间被定义为有界一致连续函数在适当范数下的闭包，从而可扩展至较不规则的终端数据。
• 通过Itô公式与随机指数变换推导出先验估计，确保了解过程的有界性与可积性。
• 通过有界一致连续终端条件的逼近序列的极限构造解，证明在广义解空间中解的存在性。