[论文解读] A weak Galerkin finite element method for Burgers' equation

Yanli Chen, Tie Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于求解一维Burgers方程的弱Galerkin（WG）有限元方法，采用了一种新颖的弱变分格式。该方法建立了半隐式和全隐式格式，证明了对于多项式次数 $k$，在离散 $H^1$-范数和 $L^2$-范数下均达到 $k+1$ 阶的最优收敛率，且通过具有精确解的数值实验和收敛性研究得到了验证。

ABSTRACT

We propose a weak Galerkin(WG) finite element method for solving the one-dimensional Burgers' equation. Based on a new weak variational form, both semi-discrete and fully-discrete WG finite element schemes are established and analyzed. We prove the existence of the discrete solution and derive the optimal order error estimates in the discrete $H^1$-norm and $L^2$-norm, respectively. Numerical experiments are presented to illustrate our theoretical analysis.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且精确的数值格式，用于求解Burgers方程，该方程是Navier-Stokes方程的简化模型。
• 解决在高雷诺数（接近双曲型）区域求解Burgers方程的挑战。
• 建立一种基于新型弱变分格式的弱Galerkin有限元方法，确保双线性形式的正定性。
• 为半隐式和全隐式格式推导在离散 $H^1$-范数和 $L^2$-范数下的最优误差估计。
• 通过具有精确解的数值实验和收敛性分析，验证理论结果。

提出的方法

• 通过分部积分并对非线性对流项进行对称化，推导出一种新的弱变分格式，从而得到正定的双线性形式。
• 在局部有限元空间中使用次数为 $k$ 的正交多项式，定义离散弱微分，确保局部守恒性和稳定性。
• 采用 $H^1$-协调有限元空间，在空间上构建半隐式WG格式，其中弱函数 $v = \{v^0, v^a, v^b\}$，$v^0$ 表示单元内部值，$v^a, v^b$ 表示单元边界上的值。
• 通过向后欧拉时间离散化构造全隐式格式，使得每一步时间推进均形成线性系统。
• 离散弱微分满足离散的分部积分恒等式，这对稳定性和误差分析至关重要。
• 基于投影分析和弱Galerkin空间的逼近性质，推导出误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱Galerkin有限元方法能否有效应用于一维Burgers方程，并实现最优收敛率？
• RQ2 所提出的弱变分格式是否能确保双线性形式的正定性，从而实现稳定的数值解？
• RQ3 对于不同多项式次数 $k$，WG有限元方法在 $H^1$-范数和 $L^2$-范数下的收敛行为如何？
• RQ4 在不同粘性系数 $\nu$ 和网格加密条件下，数值解与精确解的对比结果如何？
• RQ5 在粘性系数极小、趋近双曲型区域时，该方法是否仍能保持高精度？

主要发现

• 所提出的WG有限元方法在多项式次数 $k$ 下，于离散 $H^1$-范数下实现了最优收敛阶 $k+1$。
• 理论误差估计证实，$L^2$-范数下同样实现了 $k+1$ 阶的最优收敛率。
• 当 $\nu = 0.1$ 和 $\nu = 0.01$ 时，数值实验在 $t_n = 0.1, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0$ 处与精确解高度一致。
• 在 $t_n = 1.0$ 处，$k=0$ 和 $k=1$ 的收敛图谱显示，对于 $\nu = 0.1, 0.01, 0.001$，$H^1$ 和 $L^2$ 范数下均呈现 $k+1$ 阶收敛。
• 即使在小粘性系数 $\nu = 0.001$ 条件下，该方法仍保持稳定和高精度，表明其在接近双曲型区域的鲁棒性。
• 数值结果验证了理论误差估计，证实了所提出弱变分格式的有效性。