[论文解读] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用 22

一句话总结

本文提出了一种用于Stokes方程的弱伽辽金（WG）有限元方法，采用任意多边形/多面体网格上对速度使用次数 $k \geq 1$ 的不连续多项式逼近，对压力使用次数 $k-1$ 的不连续多项式逼近。该方法通过作为分布的弱梯度和弱散度进行定义，引入无参数的稳定化项，并在速度和压力的分片 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下实现了最优阶误差估计。

ABSTRACT

This paper introduces a weak Galerkin (WG) finite element method for the Stokes equations in the primary velocity-pressure formulation. This WG method is equipped with stable finite elements consisting of usual polynomials of degree $k\ge 1$ for the velocity and polynomials of degree $k-1$ for the pressure, both are discontinuous. The velocity element is enhanced by polynomials of degree $k-1$ on the interface of the finite element partition. All the finite element functions are discontinuous for which the usual gradient and divergence operators are implemented as distributions in properly-defined spaces. Optimal-order error estimates are established for the corresponding numerical approximation in various norms. It must be emphasized that the WG finite element method is designed on finite element partitions consisting of arbitrary shape of polygons or polyhedra which are shape regular.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且鲁棒的有限元方法，用于Stokes方程，允许使用任意多边形和多面体网格。
• 通过为速度和压力均采用不连续逼近，克服符合有限元方法的局限性。
• 通过引入无参数的稳定化项，确保稳定性与最优收敛性，而无需在经典意义下满足inf-sup条件。
• 将弱伽辽金框架扩展至Stokes问题，利用作为分布定义的弱导数。
• 在一般网格假设下，为速度和压力在相关范数下建立最优误差估计。

提出的方法

• 该方法使用不连续有限元空间：速度采用次数 $k \geq 1$ 的多项式，压力采用次数 $k-1$ 的多项式，并在单元边界上额外引入次数 $k-1$ 的多项式。
• 通过分部积分定义弱梯度 $\nabla_w$ 和弱散度 $\nabla_w \cdot$，并在离散Sobolev空间中将其解释为分布。
• 引入稳定化双线性形式 $s(\cdot, \cdot)$ 以强制速度逼近在单元界面处的弱连续性。
• 变分格式用其弱对应量替代经典梯度和散度，形成保持一致性和稳定性的混合格式。
• 通过静态消去法消除内部自由度，采用混合有限元格式求解离散系统，从而减少未知数数量。
• 该方法在形状规则的多边形和多面体网格上构造，提升了网格生成和自适应加密的灵活性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种用于Stokes方程的弱伽辽金有限元方法，使其在任意多边形和多面体网格上稳定且收敛？
• RQ2 如何利用不连续逼近，推导出速度在分片 $H^1$ 范数下的最优阶误差估计，以及压力在 $L^2$ 范数下的最优阶误差估计？
• RQ3 无参数稳定化项 $s(\cdot, \cdot)$ 在无需经典inf-sup条件的情况下，如何确保稳定性和收敛性？
• RQ4 作为分布定义的弱梯度和弱散度算子如何影响数值格式的一致性和收敛性？
• RQ5 通过静态消去法消除内部自由度，该方法在多大程度上可实现计算效率的提升？

主要发现

• WG方法实现了最优阶误差估计：速度在分片 $H^1$ 范数下为 $O(h^k)$，速度和压力在 $L^2$ 范数下亦为 $O(h^k)$。
• 该方法在形状规则的任意多边形和多面体网格上稳定且收敛，无需元素间满足符合连续性。
• 稳定化项 $s(\cdot, \cdot)$ 为无参数，确保了速度逼近的弱连续性，从而在无需额外约束下实现最优收敛。
• 一致性项 $\ell_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})$ 和 $\theta_\rho(\mathbf{v})$ 的误差估计分别有界于 $Ch^r\|\mathbf{w}\|_{r+1}\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$ 和 $Ch^r\|\rho\|_r\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$，证实了最优收敛速率。
• 即使精确解的正则性有限，只要解属于 $H^{r+1}$ 和 $H^r$ 空间，速度和压力逼近仍可实现最优收敛。
• 该方法支持静态消去，可减少全局耦合自由度数量，从而提升计算效率。