[论文解读] A Wilf equivalence related to two stack sortable permutations

David Callan|ArXiv.org|Oct 11, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文建立了两类排列之间的威尔夫等价性：满足 3-5-2-4-1 模式的排列（3-5-2-4-1-满足）与避免连字符模式 31-4-2 的排列。通过基于左到右极大值（LRmax）的递归双射，结合对 3-2-1-避免 和 3-1-2-避免 排列的已知刻画，作者证明了这两类排列的个数相等，从而通过一个保持 LRmax 规范的双射，建立了两种看似不同的模式避免条件之间的结构性联系。

ABSTRACT

A permutation is so-called two stack sortable if it (i) avoids the (scattered) pattern 2-3-4-1, and (ii) contains a 3-2-4-1 pattern only as part of a 3-5-2-4-1 pattern. Here we show that the permutations on [n] satisfying condition (ii) alone are equinumerous with the permutations on [n] that avoid the mixed scattered/consecutive pattern 31-4-2. The proof uses a known bijection from 3-2-1-avoiding to 3-1-2-avoiding permutations.

研究动机与目标

• 建立由不同模式条件定义的两类排列之间的威尔夫等价性。
• 解决理查德·布鲁阿尔迪提出的问题，即 3-5-2-4-1-满足 排列的计数问题。
• 证明 [n] 上 3-5-2-4-1-满足 排列的数量等于 [n] 上 31-4-2-避免 排列的数量。
• 通过左到右极大值和已知的 3-2-1/3-1-2 避免刻画，为这两类个数相等的排列类构造一个显式双射。
• 通过将混合的分散/连续模式与更复杂的五字母模式条件联系起来，扩展对模式避免威尔夫等价性的理解。

提出的方法

• 通过其左到右极大值（LRmax）规范 (P, M) 对排列进行刻画，其中 P 是 LRmax 位置的序列，M 是 LRmax 值的序列。
• 为每个 LRmax 规范定义极小和极大排列：极小排列用尚未使用的最小元素填充方框，极大排列用不产生新 LRmax 的最大元素填充。
• 利用已知的双射关系，将 LRmax 规范下的 3-2-1-避免（极小）排列与 3-1-2-避免（极大）排列联系起来。
• 建立递归刻画：一个排列是 3-5-2-4-1-满足的，当且仅当每个 LRmax 之间的块 Li 都是 3-5-2-4-1-满足的，且这些块按递增顺序排序后是 3-2-1-避免的。
• 类似地，一个排列是 31-4-2-避免的，当且仅当每个 Li 都是 31-4-2-避免的，且这些块按递减顺序排序后是 3-1-2-避免的。
• 构造一个保持 LRmax 规范的递归双射，将 3-5-2-4-1-满足 排列映射到 31-4-2-避免 排列。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 n，[n] 上 3-5-2-4-1-满足 排列与 31-4-2-避免 排列的数量是否相等？
• RQ2 能否为 3-5-2-4-1-满足 与 31-4-2-避免 排列之间定义一个保持 LRmax 结构的显式双射？
• RQ3 在左到右极大值之间的块上，哪些结构条件能保证 3-5-2-4-1-满足 或 31-4-2-避免？
• RQ4 通过极小和极大排列刻画的 3-2-1-避免 与 3-1-2-避免 排列的已知特征，如何推广到更复杂的模式条件？
• RQ5 这两类模式类之间威尔夫等价性的深层组合原因是什么？

主要发现

• 在 [n] 上，3-5-2-4-1-满足 排列的数量等于 31-4-2-避免 排列的数量，从而确立了威尔夫等价性。
• 该等价性通过保持排列左到右极大值规范的递归双射得到证明。
• 该双射是通过每个 LRmax 规范下极小（3-2-1-避免）与极大（3-1-2-避免）排列之间的已知对应关系构造的。
• 在左到右极大值之间的每个块 Li 必须单独满足各自的模式条件（3-5-2-4-1 或 31-4-2），整个排列才能满足全局条件。
• 块的排序版本——3-5-2-4-1-满足 时为递增，31-4-2-避免 时为递减——必须分别避免 3-2-1 或 3-1-2，以确保全局结构被保持。
• 该结果为两类模式类之间提供了新的威尔夫等价实例，其中一类涉及混合的分散/连续五字母模式，另一类涉及四字母连字符模式。