[论文解读] A zero-one law for uniform Diophantine approximation in Euclidean norm

Dmitry Kleinbock, Anurag Rao|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过分析在格空间上的对角流的收缩目标问题，建立了欧氏范数下均匀丢番图逼近的零一律。利用数的几何与动力系统工具，证明了对于给定的逼近函数 ψ，满足特定范数相关不等式的实数 α 的集合，其勒贝格测度要么为全测度，要么为零测度，具体取决于相关级数的收敛或发散性，从而推广了此前在上确界范数情形下的结果。

ABSTRACT

We study a norm sensitive Diophantine approximation problem arising from the work of Davenport and Schmidt on the improvement of Dirichlet's theorem. Its supremum norm case was recently considered by the first-named author and Wadleigh, and here we extend the set-up by replacing the supremum norm with an arbitrary norm. This gives rise to a class of shrinking target problems for one-parameter diagonal flows on the space of lattices, with the targets being neighborhoods of the critical locus of a suitably scaled norm ball. We use methods from geometry of numbers and dynamics to generalize a result due to Andersen and Duke on measure zero and uncountability of the set of numbers for which Minkowski approximation theorem can be improved. The choice of the Euclidean norm on $\mathbb{R}^2$ corresponds to studying geodesics on a hyperbolic surface which visit a decreasing family of balls. An application of a dynamical Borel-Cantelli lemma of Maucourant produces a zero-one law for improvement of Dirichlet's theorem in Euclidean norm.

研究动机与目标

• 将均匀丢番图逼近的零一律从上确界范数推广至任意范数，特别是欧氏范数。
• 分析 ℝ² 中格空间上单参数对角流的收缩目标问题。
• 刻画满足范数敏感逼近不等式的实数集合的测度性质。
• 推广 Andersen 和 Duke 关于闵可夫斯基定理改进及丢番图逼近中零测度集结果的工作。
• 为欧氏范数设定下的逼近问题建立动力学 Borel–Cantelli 引理框架。

提出的方法

• 将丢番图逼近问题建模为 ℝ² 中单模格空间上对角流的收缩目标问题。
• 利用幂零流 u_α 在格上的作用，将逼近条件转化为格向量落入缩放范数球内的包含关系。
• 应用 Maucourant 的动力学 Borel–Cantelli 引理，推导出满足逼近不等式的 α 集合的零一律。
• 运用数的几何时空技术分析范数球的临界轨迹，并验证其与抛物子群李代数的横截性。
• 通过范数球边界局部参数化的微分分析，证明临界轨迹与上三角矩阵李代数生成的分布的横截性。
• 利用 Mahler 定理，通过将临界不可约体 B' 嵌入具有相同临界行列式的通有凸体 B，将可约情形约化为不可约情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在欧氏范数下，是否存在类似于上确界范数情形下的均匀丢番图逼近的零一律？
• RQ2 对于所有充分大的 t，不等式 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 存在非平凡整数解的实数 α 的集合，其测度性质（全测度或零测度）如何？
• RQ3 范数球的几何结构，特别是其临界轨迹，如何影响格空间上对角流的动力学？
• RQ4 对于一般范数，特别是欧氏范数，动力学 Borel–Cantelli 引理所需的横截性条件是否可被确立？
• RQ5 凸体的临界行列式在多大程度上决定了其临界格轨迹的结构？

主要发现

• 对于 α ∈ ℝ 满足不等式 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 对所有充分大的 t 存在非平凡整数解的集合，其零一律成立，取决于级数 ∑ −log(1−kψ(k))(1/k − ψ(k)) 的收敛或发散性。
• 若该级数发散，则满足逼近条件的 α 集合具有全勒贝格测度；若收敛，则其测度为零。
• 欧氏范数球的临界轨迹与上三角矩阵李代数生成的分布具有横截性，这是应用动力学 Borel–Cantelli 引理的关键条件。
• 通过范数球边界局部参数化的微分分析，证明了导数矩阵左下角元素非零，从而确立了横截性条件。
• 对于可约凸体，其临界轨迹包含于具有相同临界行列式的不可约体的临界轨迹中，从而可将问题约化至不可约情形。
• 该结果推广了 Andersen 和 Duke 关于可改进闵可夫斯基定理的零测度及不可数集结果，现扩展至欧氏范数情形。