[论文解读] Nondense orbits on homogeneous spaces and applications to geometry and number theory

Jinpeng An, Lifan Guan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文在特定几何条件下，建立了齐性空间中轨道非稠密点集具有满 Hausdorff 维数的充分条件，利用超平面绝对取胜（HAW）性质。该研究统一了仿射映射与齐性空间上单参数作用的非稠密轨道结果，证明此类例外集合为 HAW，因此既为厚集又在可数交集中保持鲁棒性，并在几何与数论中具有应用，如例外测地线与非稠密集值的构造。

ABSTRACT

Let $G$ be a Lie group, $Γ\subset G$ a discrete subgroup, $X=G/Γ$, and $f$ an affine map from $X$ to itself. We give conditions on a submanifold $Z$ of $X$ guaranteeing that the set of points $x\in X$ with $f$-trajectories avoiding $Z$ is hyperplane absolute winning (a property which implies full Hausdorff dimension and is stable under countable intersections). A similar result is proved for one-parameter actions on $X$. This has applications to constructing exceptional geodesics on locally symmetric spaces, and to non-density of the set of values of certain functions at integer points.

研究动机与目标

• 建立齐性空间子流形的几何条件，使得轨道非稠密的点集为超平面绝对取胜（HAW）。
• 统一并推广齐性动力系统中非稠密轨道的已有结果，包括仿射映射与单参数作用的情形。
• 证明避开特定子流形的例外点集不仅为厚集，且由于 HAW 性质在可数交集中保持鲁棒性。
• 将 HAW 框架应用于构造局部对称空间上的例外测地线，并研究某些函数在整数点处取值的非稠密性。

提出的方法

• 引入齐性空间 $X = G/\Gamma$（其中 $G$ 为李群，$\Gamma$ 为离散子群）中子流形的 $G_f$-横截性与 $(F, G_{F^+})$-横截性概念。
• 应用超平面绝对取胜（HAW）游戏，证明避开横截子流形的轨道点集为 HAW，从而蕴含满 Hausdorff 维数。
• 采用提升策略，将投影空间上的 HAW 游戏与原空间关联，通过辅助玩家（Alice 的妹妹与 Bob 的兄弟）在嵌套游戏框架中构造取胜策略。
• 利用投影 $P_W$、球体与超平面邻域的几何构造，确保目标集在迭代过程中始终位于取胜区域内。
• 利用 HAW 性质在可数交集下的不变性，增强例外集的鲁棒性。
• 依赖于由保持 $\Gamma$ 的 $G$ 的自同构诱导的仿射映射 $f: X \to X$ 及其在李代数 $\mathfrak{g}$ 上的线性化 $d\sigma_f$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，齐性空间 $X = G/\Gamma$ 的子流形 $Z \subset X$ 使得 $f$-轨道避开的点集为 HAW？
• RQ2 HAW 性质如何统一齐性空间上仿射映射与单参数作用的非稠密轨道结果？
• RQ3 HAW 性质对局部对称空间上例外测地线的存在性有何影响？
• RQ4 能否利用 HAW 框架证明某些函数在整数点处取值的非稠密性？
• RQ5 涉及 $G_f$ 与 $F$-方向的横截性条件如何确保非稠密轨道的丰富性？

主要发现

• 避开紧致 $G_f$-横截 $C^1$ 子流形 $Z \subset X$ 的 $f$-轨道非稠密点集 $E(f, Z)$ 为超平面绝对取胜，因此具有满 Hausdorff 维数。
• 当 $Z$ 为紧致 $(F, G_{F^+})$-横截 $C^1$ 子流形时，单参数子群 $F$ 对应的 $E(F^+, Z)$ 为 HAW，确保维数满且鲁棒性成立。
• HAW 性质意味着此类例外集的可数交集仍为厚集，展现出强大的拓扑与测度论鲁棒性。
• 通过在高维空间中利用辅助玩家与几何提升构造嵌套游戏，本文在投影空间上构造了 HAW 游戏的取胜策略。
• 该结果推广了定理 1.2（关于环面自同态）与定理 1.1（关于齐性动力系统），在 HAW 框架下实现统一。
• 应用包括在局部对称空间上构造例外测地线，以及基于例外集的 HAW 结构，证明某些函数在整数点处取值的非稠密性。