[论文解读] ABCD of 3d ${\cal N}=8$ and 4 Superconformal Field Theories

Dongmin Gang, Eunkyung Koh+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 16

一句话总结

本文提出了3d ${\cal N}=8$ 超共形场论（SCFT）与ABJ(M) Chern-Simons-物质理论之间在ABC D规范群—$U(N)$、$SO(2N+1)$、$Sp(2N)$ 与 $O(2N)$—下的对偶性，其规范等级为 $k=1,2$。通过超共形指数与大 $N$ 极限，本文在这些Yang-Mills理论的IR固定点与其ABJ(M)对应理论之间建立了指数匹配，通过显式指数计算与 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 群 orbifold 的引力对偶性，确认了该对偶性。

ABSTRACT

We argue the equivalence between the infrared conformal field theory of the 3d $\mathcal{N}=8$ supersymmetric Yang-Mills theories of ABCD ($U(N), SO(2N+1), Sp(2N), O(2N)$) gauge groups and the ABJ(M) theories of $U(N)_k imes U( ilde N)_{-k}$ for $k=1,2$. We support this duality by comparing the superconformal index of the IR limit of these super Yang-Mills theories and that of those ABJ(M) models. Especially we find the match between two indices of (mirror dual of) the $\mathcal{N}=8$ U(N) SYM and of $U(N)_1 imes U(N)_{-1}$ ABJM model. Also we take large $N$ limit of ABCD super Yang-Mills theories with additional fundamental hyper-multiplets and infer the large N limit of $\mathcal{N}=8$ ABCD theories themselves, finding the expected gravitational duals. With the additional input on finite N, we argue the equivalence of Yang-Mills and ABJ(M) theories for all N. We further explore similar dualities to Chern-Simons matter theories for $\mathcal{N}=4$ Yang-Mills theories related by mirror symmetry.

研究动机与目标

• 建立3d ${\cal N}=8$ 超Yang-Mills（SYM）理论在ABCD规范群下与ABJ(M) Chern-Simons-物质理论之间红外（IR）极限的对偶性。
• 通过计算并比较各自IR SCFT的超共形指数，检验该对偶性。
• 通过镜像对称性将对偶性推广至 ${\cal N}=4$ Yang-Mills理论，提出其与Chern-Simons-物质理论的类比对偶性。
• 通过分析Higgsing极限与orbifold结构，在有限 $N$ 下确认对偶性，并验证其与大 $N$ 极限下引力对偶性的一致性。

提出的方法

• 利用其 ${\cal N}=4$ 镜像对偶（额外包含一个fundamental超多重态）计算 ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM 的超共形指数。
• 由于缺乏镜像对偶，采用迂回方法将超共形指数形式化应用于 $O(2N)$、$SO(2N+1)$ 与 $Sp(2N)$ SYM 理论。
• 向ABCD SYM理论引入 $m$ 个fundamental超多重态，并计算该理论在大 $N$ 极限下的指数。
• 将大 $N$ 有效场论指数与 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ orbifold 的指数匹配，其中包含扭区（twisted sector）贡献。
• 利用傅里叶变换恒等式（例如，$1/\cosh(\pi\sigma) = \int d\tau \, e^{2\pi i \tau \sigma}/\cosh(\pi\tau)$）关联SYM与ABJ(M)理论的划分函数。
• 通过积分恒等式与变量替换，证明 ${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM 与 $\mathcal{N}=4$ Chern-Simons理论的划分函数完全等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM 理论的IR极限是否与 $U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM模型对偶？
• RQ2 ${\cal N}=8$ SYM理论在 $O(2N)$、$SO(2N+1)$ 与 $Sp(2N)$ 规范群下的IR SCFT是否可由 $k=2$ 的ABJ(M)理论描述？
• RQ3 在大 $N$ 极限下，${\cal N}=8$ ABCD SYM理论的指数是否与含 $\mathbb{Z}_m$ 扭区的 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 指数匹配？
• RQ4 ${\cal N}=4$ Yang-Mills理论中的镜像对称性是否可导出对偶的Chern-Simons-物质理论？该对偶性是否通过指数匹配得到确认？
• RQ5 ABCD SYM与ABJ(M)理论之间的对偶性在有限 $N$ 下是否成立？是否可通过Higgsing或orbifold约化加以验证？

主要发现

• 对于小的 $N$，${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM理论的超共形指数与 $U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM模型的指数完全匹配，证实了在有限 $N$ 下的对偶性。
• ${\cal N}=8$ $O(2N)$ SYM理论的IR极限与 $U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ ABJM模型对偶，而 $SO(2N+1)$ SYM理论则流至 $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ ABJ理论。
• $Sp(2N)$ SYM理论存在两种可能的对偶：$U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ 或 $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ ABJ(M)模型。
• 在大 $N$ 极限下，引入 $m$ 个fundamental超多重态时，ABCD SYM理论的指数与含 $\mathbb{Z}_m$ 扭区的 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 指数完全匹配，证实了引力对偶性。
• 在应用傅里叶变换恒等式与变量替换后，${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM与 $\mathcal{N}=4$ Chern-Simons理论的划分函数完全一致。
• 该对偶性还得到进一步支持：orbifold化的 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 空间之场论指数与大 $N$ 极限下 $k=2$ ABJ(M)理论的指数一致，此前已在文献中通过测试验证。