[论文解读] Abelian Yang-Mills theory on Real tori and Theta divisors of Klein surfaces

Christian Okonek, Andrei Teleman|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文使用 Appell-Humbert 理论和局部化技术，计算了 Klein 曲面上的实线丛的固定点丛的前一阶 Stiefel-Whitney 类。关键结果是给出了 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ 关于 $ w_1(\kappa^{\tilde{\iota}}) $ 的显式公式，以及 $ w_1({\cal L}_{p_0}^{\tilde{\iota}}) $ 关于 $ p_0 \in C^\iota $ 所在连通分支的显式公式，从而解决了实规范理论与实代数几何中的可定向性问题。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to compute determinant index bundles of certain families of Real Dirac type operators on Klein surfaces as elements in the corresponding Grothendieck group of Real line bundles in the sense of Atiyah. On a Klein surface these determinant index bundles have a natural holomorphic description as theta line bundles. In particular we compute the first Stiefel-Whitney classes of the corresponding fixed point bundles on the real part of the Picard torus. The computation of these classes is important, because they control to a large extent the orientability of certain moduli spaces in Real gauge theory and Real algebraic geometry.

研究动机与目标

• 通过计算 Klein 曲面上实线丛的行列式指标丛的前一阶 Stiefel-Whitney 类，解决实规范理论与实代数几何中的可定向性问题。
• 将 Picard 环面实部上的实行列式线丛与固定点集上由实 theta 特征或实点导出的 theta 线丛相联系。
• 计算这些实线丛的固定点丛的前一阶 Stiefel-Whitney 类，这些类控制模空间的可定向性。
• 利用 Appell-Humbert 数据与局部化技术，建立 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ 与 $ w_1({\cal L}_{p_0}^{\tilde{\iota}}) $ 的完整公式。
• 为低维几何中的实 Seiberg-Witten 理论与实 gauged linear sigma 模型提供基础工具。

提出的方法

• 使用 Appell-Humbert 理论计算 Picard 环面上实 theta 线丛 $ {\cal L}_{\kappa} $ 与 $ {\cal L}_{p_0} $ 的 Appell-Humbert 数据。
• 从 $ {\cal L}_{\kappa} $ 的 Appell-Humbert 数据中提取第一阶 Stiefel-Whitney 类 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $。
• 比较实线丛 $ (L_{\kappa}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{\kappa}}) $ 与 $ (L_{p_0}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{p_0}}) $，以关联其 Stiefel-Whitney 类。
• 应用具有对合的流形上 $ \mathbb{Z}_2 $-等变丛的局部化公式，以 $ \mathbb{P}_{\mathbb{R}}(N_{X^\iota/X} \oplus \underline{\mathbb{R}}) $ 作为边界分量。
• 使用 Whitney 和公式与 Chern-Wu 类，将项目化丛上下降丛的总 Stiefel-Whitney 类分解。
• 推导出局部化公式：$ \langle w_2(_{\mathbb{R}}E), [X]_2 \rangle = \langle w_1(E^{\tilde{\iota}}) + \frac{r(r-1)}{2}w_1(N_{X^\iota/X}), [X^\iota]_2 \rangle $，适用于具有 codim-1 固定点集的闭实 2-流形上的实秩-2 丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Klein 曲面上，与实 theta 特征相关的实行列式线丛的固定点丛的第一阶 Stiefel-Whitney 类是什么？
• RQ2 实 theta 线丛的固定点丛的第一阶 Stiefel-Whitney 类如何依赖于实点 $ p_0 \in C^\iota $ 所在的连通分支？
• RQ3 模空间在实规范理论中的可定向性是否可通过计算 Picard 环面上实行列式线丛的 $ w_1 $ 来确定？
• RQ4 是否存在适用于实 theta 线丛的、适用于具有对合的流形上 $ \mathbb{Z}_2 $-等变 Stiefel-Whitney 类的局部化公式？
• RQ5 实环面上实线丛的 Appell-Humbert 数据如何编码其 $ \mathbb{Z}_2 $-等变结构及其相关的 Stiefel-Whitney 类？

主要发现

• 第一阶 Stiefel-Whitney 类 $ w_1({\cal L}_{\kappa}^{\tilde{\iota}}) $ 显式计算为 $ w_1(\kappa^{\tilde{\iota}}) $，表明其仅依赖于 theta 特征的实结构。
• 第一阶 Stiefel-Whitney 类 $ w_1({\cal L}_{p_0}^{\tilde{\iota}}) $ 由 $ p_0 \in C^\iota $ 所在的连通分支决定，且在同一切片内不依赖于 $ p_0 $ 的选择。
• 推导出局部化公式：$ \langle w_2(_{\mathbb{R}}E), [X]_2 \rangle = \langle w_1(E^{\tilde{\iota}}) + \frac{r(r-1)}{2}w_1(N_{X^\iota/X}), [X^\iota]_2 \rangle $，该公式适用于具有 codim-1 固定点集的闭实 2-流形上的实秩-$ r $ 丛。
• 证明了实行列式线丛 $ (L_{\kappa}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{\kappa}}) $ 与 $ (L_{p_0}, \tilde{\iota}_{{\cal L}_{p_0}}) $ 在 Grothendieck 群 $ H^2_{\mathbb{Z}_2}(\mathrm{Pic}^0(C), \underline{\mathbb{Z}}(1)) $ 中定义了元素，该群分类了实环面上的实线丛。
• 该计算解决了实规范理论与实代数曲线模空间的可定向性障碍，因为这些类控制了定向的存在性。
• 结果在对称幂 $ S^d(C) $ 上得到说明，表明此类模空间的可定向性由本文计算的 $ w_1 $ 类所决定。