[论文解读] About the speed of random walks on solvable groups

Jérémie Brieussel|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文构建了具有有限支撑对称随机游走的有限生成可解群，其上速度指数可精确调节至 [1/2, 1] 中的任意值。通过在有限与无限二面体群上的灯工群之间使用对角积构造进行插值，作者实现了任意次线性速度行为，包括在幂函数之间的振荡，表明可解群支持丰富且不可数的多种速度指数，远超此前已知的例子。

ABSTRACT

We show that for each $λ\in [\frac{1}{2}, 1]$, there exists a solvable group and a finitely supported measure such that the associated random walk has upper speed exponent $λ$.

研究动机与目标

• 确定可解群上随机游走的可能上速度指数的完整范围。
• 构造有限生成可解群的显式例子，使得速度指数可取 [1/2, 1] 中的任意值。
• 表明可解群中的速度行为可在不同幂律之间振荡，挑战了关于其几何约束的先前假设。
• 证明可解群可容纳不可数多个两两不可比较的速度行为，超越已知的幂零群或拟幂零群类。

提出的方法

• 通过将 Z/mZ 与前序层进行迭代的雅古典积构造群族 Γ_i(k,l,m)，起始于 Z wr D_l。
• 使用参数序列 (k_s, l_s, m_s) 上的对角积构造，将具有不同渐近速度行为的群组合起来。
• 在参数 l 上使用中间值论证，寻找速度函数穿过任意期望指数 λ ∈ [1/2, 1] 的群。
• 应用引理 3.3 确保速度函数在参数 l 上的连续性，从而实现在扩散行为（λ = 1/2）与 n^{3/4} 行为之间的插值。
• 使用开关-行走-开关的步长分布以确保对称性和有限支撑，保持几何控制。
• 依赖于有限球内速度函数的收敛性以及引理 2.1 和 3.1 的一致界，以控制上下速度估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 可解群上随机游走的上速度指数是否可以是 [1/2, 1] 区间内的任意值？
• RQ2 可解群是否支持在不同幂律之间的振荡速度行为，例如在 √n 与 n^λ（λ < 1）之间？
• RQ3 是否存在系统性方法，通过在有限基群与无限基群的灯工群之间插值，以实现任意次线性速度指数？
• RQ4 在可解群中，是否可以将速度指数指定为已知值 1 - 1/2^i 以外的值？
• RQ5 可解性对随机游走中可能的速度函数形式施加了何种约束（若有）？

主要发现

• 对于每个 λ ∈ [1/2, 1]，均存在一个有限生成可解群及一个有限支撑对称测度，使得相关随机游走的上速度指数恰好为 λ。
• 速度函数可在 n^{1 - 1/2^i} 与 n^λ 之间振荡，其中 λ ∈ [1 - 1/2^i, 1 - 1/2^{i+1}]，振荡由一个缓慢增长的 ε(n) 因子控制。
• 该构造使用参数通过在 l 上使用中间值论证选择的群 Γ_i(k_s, l_s, m_s) 的对角积，确保速度函数穿过任意期望的 λ。
• 这些群为 i+2-可解群，表明可解性不约束速度指数行为，且在可解群中存在不可数多个两两不可比较的速度行为。
• 该结果通过实现与 n^λ 可比较的速度函数（对所有 λ ∈ [1/2, 3/4]）证实了 Amir 和 Virag 的一个猜想，并通过迭代雅古典积将其推广至所有 λ ∈ [1/2, 1]。
• 本文确立了可解群可能的上速度指数集合恰好为 {0} ∪ [1/2, 1]，其中 0 排除于非平凡游走之外。