[论文解读] Absolute sets and the Decomposition Theorem

Nero Budur, Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文提出一个框架，利用统一空间（unispaces）及其之间的态射，从构造层上的自然函子构造绝对集——广义可构造集——而无需依赖模空间的态射。证明了在秩一局部系统模空间中，闭的绝对集是扭-translated仿射环面的有限并，从而确立了‘特殊品种包’的一个特例，并给出了半单 perverse 层的分解定理的新证明。

ABSTRACT

We give a framework to produce constructible functions from natural functors between categories, without need of a morphism of moduli spaces to model the functor. We show using the Riemann-Hilbert correspondence that any natural (derived) functor on constructible sheaves on smooth complex algebraic varieties can be used to construct a special kind of constructible sets, called absolute sets, generalizing a notion introduced by Simpson in presence of moduli. We conjecture that the absolute sets of local systems satisfy a "special varieties package", among which is an analog of the Manin-Mumford, Mordell-Lang, and André-Oort conjectures. The conjecture gives a simple proof of the Decomposition Theorem for all semi-simple perverse sheaves, assuming the Decomposition Theorem for the geometric ones. We prove the conjecture in the rank one case by showing that the closed absolute sets in this case are finite unions of torsion-translated affine tori. This extends a structure result of the authors for cohomology jump loci to any other natural jump loci. For example, to jump loci of intersection cohomology and Leray filtrations. We also show that the Leray spectral sequence for the open embedding in a good compactification degenerates for all rank one local systems at the usual page, not just for unitary local systems.

研究动机与目标

• 开发一个通用框架，从范畴之间的自然函子生成可构造函数，而无需依赖模空间的态射。
• 定义并研究‘绝对集’——一类由构造层上的导出函子通过 Riemann-Hilbert 对应关系产生的特殊可构造集。
• 猜想：局部系统类的绝对集满足一个‘特殊品种包’，类似于 Manin-Mumford、Mordell-Lang 和 André-Oort 猜想。
• 假设几何情形成立，利用该猜想证明半单 perverse 层的分解定理。
• 将关于上同调跳跃点的结构结果推广至其他自然跳跃点，如交上同调与 Leray 分次的跳跃点。

提出的方法

• 将统一空间定义为从有限型正则 C-代数到集合的函子，推广概形与代数栈。
• 定义保持统一可构造性概念的统一空间之间的态射，从而实现经典可构造函数的构造。
• 利用 Riemann-Hilbert 对应关系，将构造层的导出范畴上的自然函子上提为统一空间之间的态射。
• 将‘绝对集’定义为这些态射下可构造函数的逆像，推广 Simpson 在模空间中的定义。
• 通过 Riemann-Hilbert 对应关系将正则 D-模与 perverse 层关联，并在秩一情形建立绝对性。
• 利用代数与模型论技术，证明在秩一局部系统模空间中，闭的绝对集是扭-translated 仿射环面的有限并。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖模空间态射的情况下，系统地从构造层上的自然函子生成可构造函数？
• RQ2 由光滑复代数簇上导出函子产生的绝对集的几何与算术结构为何？
• RQ3 局部系统类的绝对集是否满足一个类似于 Manin-Mumford、Mordell-Lang 与 André-Oort 猜想的‘特殊品种包’？
• RQ4 能否通过猜想中的‘特殊品种包’证明半单 perverse 层的分解定理？
• RQ5 所有自然跳跃点（如交上同调与 Leray 分次的跳跃点）是否也都是具有类似结构的绝对集？

主要发现

• 作者构建了一个通用框架，利用统一空间及其态射，即使在不存在模空间时，也能从自然函子生成经典可构造函数。
• 任意光滑复代数簇上构造层的自然导出函子均可上提为统一空间之间的态射，从而实现绝对集的构造。
• 在秩一情形，局部系统模空间中的闭绝对集被证明为扭-translated 仿射环面的有限并。
• 该结果将上同调跳跃点的结构定理推广至其他自然跳跃点，包括交上同调与 Leray 分次的跳跃点。
• 对于所有秩一局部系统（而不仅单位酉情形），嵌入到良好紧化中的开嵌入的 Leray 谱序列在通常页处退化。
• 若几何情形成立，则猜想中的‘特殊品种包’可推出半单 perverse 层的分解定理。