[论文解读] Absolute versus Relational Debate: a Modern Global Version

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Post-Soviet Geopolitical Dynamics参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文主张，基于对称绝对空间的关联理论——如Kendall型形状理论和广义相对论的超空间——由于在商掉自同构群后仍保留在对称性记忆，因而存在分层问题。通过改用无非平凡广义Killing向量的通用绝对空间，作者表明分层现象消失，从而得到平凡且无分层的配置空间；这促使人们转向适用于现实、非对称载体空间的局部近似形状理论。

ABSTRACT

Suppose one seeks to free oneself from a symmetric absolute space by quotienting out its symmetry group. This in general however fails to erase all memory of this absolute space's symmetry properties. Stratification is one major reason for this, which is present in both a) Kendall-type Shape Theory and subsequent Relational Mechanics, and b) General Relativity configuration spaces. We consider the alternative starting point with a generic absolute space, meaning with no nontrivial generalized Killing vectors whatsoever. In this approach, generically Shape-and-Scale Theory is but trivially realized, there is no separate Shape Theory and indeed no stratification. While the GR configuration space version of these considerations was already expounded in 1996 by Fischer and Moncrief, the Kendall-type shape theory version is new to the current article. In each case, this amounts to admitting some small deformation by which symmetry's hard consequences at the level of reduced configuration spaces are warded off.We end by discussing the senses in which each of the above two strategies retain absolutist features, each's main known technical advantages and disadvantages, and the desirability of replacing Kendall-type Shape Theory with a Local-and-Approximate Shape Theory. This article is in honour of Prof. Niall ó Murchadha, on the occasion of his Festschrift.

研究动机与目标

• 解决源自对称绝对空间（如形状理论和广义相对论）的关联理论中长期存在的分层问题。
• 表明缺乏非平凡广义Killing向量的通用绝对空间可消除分层，从而产生平凡且无分层的配置空间。
• 对比两种方法的技术优势与残余的绝对论特征：商掉对称空间（分层）与使用通用空间（无分层）。
• 主张以局部近似形状理论取代全局精确关联理论，以更好地反映现实中的非对称物理空间。
• 将Fischer-Moncrief关于广义相对论超空间的洞见扩展至广义Kendall型关联理论与形状统计的领域。

提出的方法

• 通过识别两个根本原因，分析对称性商化无法彻底消除绝对空间几何记忆的原因：广义Killing方程对拓扑的全局敏感性，以及商空间的分层结构。
• 应用Yano框架中的广义Killing向量概念，分析不同几何群（欧氏、相似、仿射、射影）在配置空间中对称性残余的性质。
• 比较圆和直线两种模型（两者均无分层），以隔离拓扑在对称性记忆中的作用，补充先前对无分层情况的研究。
• 将Fischer与Moncrief在1996年对广义相对论超空间和共形超空间的分析扩展至通用流形，表明由于平稳定子群平凡，通用流形可避免分层。
• 提出局部近似形状理论的概念，其中近似对称性（如近似Killing向量）和平坦坐标图取代精确的全局对称性。
• 建议在曲面或紧致空间（如S^d, T^d）上的小尺度形状应通过受控重叠和近似不变量（如Kendall的ε-共线性）近似于R^d上的形状。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在关联理论中商掉对称群无法完全消除原始绝对空间几何的记忆？
• RQ2 在何种意义上，缺乏非平凡广义Killing向量的通用绝对空间可避免R^n等对称空间所面临的分层问题？
• RQ3 通用配置空间中无分层现象如何影响关联力学与形状理论的表述？
• RQ4 在关联物理中，使用通用绝对空间相较于对称空间具有哪些技术和概念上的优势？
• RQ5 能否严格构建一种局部近似形状理论，以在现实、非对称物理设定中取代精确的全局关联理论？

主要发现

• 缺乏非平凡广义Killing向量的通用绝对空间产生平凡的配置空间，且无分层现象，而R^n等对称空间则存在分层。
• 分层源于商空间中非平凡稳定子群和拓扑约束，即使在对称性约化后仍持续存在。
• 本文将1996年Fischer-Moncrief对广义相对论超空间和共形超空间的分析扩展至通用流形，表明由于平稳定子群平凡，通用流形可避免分层。
• Kendall型形状理论及其推广在通用空间中被平凡实现，既无独立的形状或尺度结构，也无分层现象。
• 有限点粒子关联理论在所有可能载体空间中测度为零，意味着对称模型是例外，而非普遍情况。
• 提出局部近似形状理论作为可行替代方案，其中T^d或S^d上的小尺度形状可通过平坦坐标图和近似不变量（如ε-共线性）近似于R^d上的形状。