[论文解读] Ac-conductivity and electromagnetic energy absorption for the Anderson model in linear response theory

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文建立了非零温度下安德森模型中交流电导率测度的非平凡性，推导了其高温极限与无序渐近行为，并通过电导率测度在线性响应理论中表达电磁能吸收。关键结果为能量吸收公式：$ W_{\text{lin}}^T(\tilde{u}) = 2\tilde{u} \big( \Sigma_{\mu}^T(d\nu) \big) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $，将吸收与系统的谱测度联系起来。

ABSTRACT

We continue our study of the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson model using the conductivity measure. We establish further properties of the conductivity measure, including nontriviality at nonzero temperature, the high temperature limit, and asymptotics with respect to the disorder. We also calculate the electromagnetic energy absorption in linear response theory in terms of the conductivity measure.

研究动机与目标

• 在安德森模型中，建立非零温度下交流电导率测度的非平凡性。
• 推导电导率测度的高温极限及其随无序强度的渐近行为。
• 在线性响应理论中，以电导率测度表达电磁能吸收。
• 通过电导率测度将能量吸收与系统的谱性质联系起来，特别是在局域化与随机薛定谔算符的背景下。

提出的方法

• 以电导率测度 $ \Sigma_{\mu}^T(d\nu) $ 为核心对象，其通过安德森模型中随机薛定谔算符 $ H = -\Delta + V_\omega $ 的线性响应理论定义。
• 利用迹的循环不变性与海森堡运动方程，从系统能量的时间导数推导能量吸收。
• 通过计算对易子 $ [X_1, H(t)] $ 得到线性响应电流，从而导出包含电导率测度与电场傅里叶变换 $ \widehat{\mathcal{E}}(\nu) $ 的表达式。
• 通过频率 $ \nu $ 上的积分表达能量，利用 $ \Sigma_{\mu}^T $ 的偶性，最终得到吸收公式：$ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $。
• 分析依赖于安德森哈密顿量的遍历性，以及有限温度下平衡态的费米-狄拉克分布。
• 推导在 $ T > 0 $ 或 $ \mu \in \Xi_0 $ 条件下成立，确保迹有定义且能量变化有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在安德森模型中，非零温度下交流电导率测度是否非平凡？
• RQ2 电导率测度的高温极限是什么？
• RQ3 随着无序强度增加，电导率测度的渐近行为如何？
• RQ4 在线性响应理论中，电磁能吸收如何与电导率测度关联？
• RQ5 Liouvillian $ \mathcal{L} $ 的谱支撑在决定贡献于能量吸收的频率中起什么作用？

主要发现

• 在非零温度下，电导率测度 $ \Sigma_{\mu}^T $ 是非平凡的，即其不恒为零，即使在局域化区域亦然。
• 证明了 $ \Sigma_{\mu}^T $ 的高温极限存在，并以态密度与费米-狄拉克分布表征。
• 随着无序强度增加，电导率测度表现出特定渐近行为，其测度集中方式与局域化效应一致。
• 在线性响应中，电磁能吸收由 $ W_{\text{lin}}^T(\mathcal{E}) = 2\pi \int_{\mathbb{R}} \Sigma_{\mu}^T(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $ 给出，该式非负且有限。
• 对于直流分量为零的电场（即 $ \widehat{\mathcal{E}}(0) = 0 $），吸收有下界 $ \frac{\pi^2}{2T} C_{\mu}^T \int \Upsilon(d\nu) |\widehat{\mathcal{E}}(\nu)|^2 $，表明在有限温度下存在有限的最小吸收速率。
• 仅当 $ \nu \in \sigma(\mathcal{L}) $ 时，频率才对能量吸收有贡献，且吸收完全由 $ \Sigma_{\mu}^T $ 在该谱集上的限制决定。