[论文解读] Access structure in graphs in high dimension and application to secret sharing

Anne Marin, Damian Markham+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用 6

一句话总结

该论文对素数维系统中的量子隐形共享（qudit graph states）的访问结构提供了图形化表征，涵盖经典与量子秘密共享，将先前基于量子比特的结果扩展至素数维系统。论文建立了 $((k,n))_q$ 量子秘密共享方案中阈值参数 $ k $ 的下界，证明了对于某个 $ \alpha > 0.5 $，当 $ k > \alpha n $ 时，该结果以高概率成立，并推导出涉及二元熵函数的渐近界，量化了在高维系统中此类方案存在的最小 $ \alpha $。

ABSTRACT

We give graphical characterisation of the access structure to both classical and quantum information encoded onto a multigraph defined for prime dimension $q$, as well as explicit decoding operations for quantum secret sharing based on graph state protocols. We give a lower bound on $k$ for the existence of a $((k,n))_q$ scheme and prove, using probabilistic methods, that there exists $α$ such that a random multigraph has an accessing parameter $k\leq αn$ with high probability.

研究动机与目标

• 将图态中访问结构的图形化表征从量子比特扩展至素数维的 qudit。
• 基于图态，为 CQ 和 QQ 量子秘密共享协议提供显式的解码过程。
• 为 $((k,n))_q$ 方案中的阈值参数 $ k $ 建立下界。
• 利用概率方法证明，对于某些 $ \alpha > 0.5 $，$((k,n))_q$ 方案在 $ k \leq \alpha n $ 时以高概率存在。
• 通过图态形式化，建立秘密共享、纠错与稳定子码之间的联系。

提出的方法

• 使用 $ q $-多重图表示 qudit 图态，其中边标记为 $ \mathbb{F}_q $ 中的元素，从而实现对 F*-图的多重图解释。
• 在由多重集诱导的顶点与子多重图上定义多重集运算，利用矩阵乘法 $ \Gamma \cdot D $ 计算邻居重数。
• 引入核差 $ S_d(B) = \ker(\Gamma_G[B \cup \{d\}]) \setminus \ker(\Gamma_G[B]) $ 以分析信息可访问性。
• 应用概率方法界Authorized 集的大小，利用割秩函数 $ \text{cutrk}_G(B) $ 描述信息流。
• 利用涉及二元熵函数 $ H_2(p) $ 的基于熵的渐近分析，推导出 $ \alpha $ 的下界，即所需玩家比例的最小值。
• 通过 duality（对偶性）将量子信息可访问性问题转化为经典信息可访问性问题，基于先前对量子比特的研究结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素数维的 qudit 图态中，秘密共享的授权与非授权集合的图形化表征是什么？
• RQ2 如何基于图态形式化，显式构造 CQ 和 QQ 协议的解码操作？
• RQ3 作为 $ n $ 和 $ q $ 的函数，$((k,n))_q$ 量子秘密共享方案存在的最小阈值 $ k $ 是什么？
• RQ4 能否利用概率方法证明，当 $ k \leq \alpha n $ 时，此类方案以高概率存在？最小的此类 $ \alpha $ 是多少？
• RQ5 关于秘密共享的结果如何与稳定子码和纠错码的存在性相关联？

主要发现

• 当 $ k \leq \alpha n $ 时，$((k,n))_q$ 量子秘密共享方案以高概率存在，其中 $ \alpha $ 满足渐近不等式 $ H_2\left(\frac{\alpha q + 1}{q + 1}\right) + \alpha H_2\left(\frac{1 - \alpha}{\alpha}\right) \geq H_2(\alpha) $。
• 对 $ \alpha $ 的下界依赖于 qudit 维度 $ q $，对所有 $ q $ 均有 $ \alpha > 0.5 $，且随着 $ q $ 增大，该下界趋于紧致。
• 对于小的 $ q $，最小 $ \alpha $ 绘制于图 2 中，显示当 $ q = 30 $ 时 $ \alpha \approx 0.506 $，表明存在非平凡的阈值。
• $((\alpha n, n))_q$ 方案的存在性意味着任何稳定子码都无法违反对 $ \alpha $ 推导出的下界，从而将秘密共享与量子纠错联系起来。
• 量子信息的访问结构可简化为集合及其补集上的经典访问结构，从而实现对 CQ 和 QQ 方案的统一处理。
• 核差 $ S_d(B) $ 被用于界信息承载集合的大小，导出涉及 $ \alpha $、$ n $ 和 $ q $ 的关键不等式。