[论文解读] Acyclic reorientation lattices and their lattice quotients

Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文建立了有向无环图（DAG）的无环重定向偏序集形成格的完整刻画：当且仅当每个诱导子图的传递约化是一棵树（称为“脊椎型”）时，该偏序集构成一个格。本文进一步表明，此类格是同余正规的，且在DAG为“填充型”时是半分配的（因此也是同余一致的），当且仅当DAG是一棵树时为分配格。本文引入了‘绳索’作为组合工具，用于描述并 meet-不可约元、标准表示及同余关系，并利用晶片多面体构造了格商的商多面体。

ABSTRACT

We prove that the acyclic reorientation poset of a directed acyclic graph $D$ is a lattice if and only if the transitive reduction of any induced subgraph of $D$ is a forest. We then show that the acyclic reorientation lattice is always congruence normal, semidistributive (thus congruence uniform) if and only if $D$ is filled, and distributive if and only if $D$ is a forest. When the acyclic reorientation lattice is semidistributive, we introduce the ropes of $D$ that encode the join irreducibles acyclic reorientations and exploit this combinatorial model in three directions. First, we describe the canonical join and meet representations of acyclic reorientations in terms of non-crossing rope diagrams. Second, we describe the congruences of the acyclic reorientation lattice in terms of lower ideals of a natural subrope order. Third, we use Minkowski sums of shard polytopes of ropes to construct a quotientope for any congruence of the acyclic reorientation lattice.

研究动机与目标

• 刻画无环重定向偏序集构成格的有向无环图（DAG）类型。
• 研究无环重定向格中的格论性质，如分配性、半分配性，以及同余正规性/一致性。
• 通过‘绳索’建立组合框架，以描述半分配无环重定向格中的不可约元、标准表示及同余关系。
• 利用绳索的晶片多面体的Minkowski和，构造格商的商多面体。

提出的方法

• 引入‘脊椎型’DAG的概念，即每个诱导子图的传递约化均为树，并证明该条件是无环重定向偏序集构成格的充要条件。
• 利用无环重定向偏序集之间的限制映射分析格的性质，并建立结构关系。
• 将‘绳索’定义为编码 join-不可约无环重定向的组合对象，并利用非交叉绳索图描述其标准 join 和 meet 表示。
• 在格为半分配时，建立子绳索序中的下理想与无环重定向格的同余之间的双射关系。
• 通过绳索关联的晶片多面体的Minkowski和构造商多面体，为格商提供几何实现。
• 应用图排列与区域偏序集的结果，将格结构与超平面排列及向量配置联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有向无环图，其无环重定向偏序集构成格？
• RQ2 在何种结构条件下，无环重定向格是半分配或分配的？这些性质由底层DAG的何种结构特征所决定？
• RQ3 无环重定向格的 join 和 meet 不可约元如何通过组合方式编码与表示？
• RQ4 无环重定向格的同余关系具有何种结构？如何通过子绳索上的自然序来描述它们？
• RQ5 无环重定向格的商格能否被几何实现？若是，此类商多面体如何构造？

主要发现

• 有向无环图（DAG）的无环重定向偏序集构成格，当且仅当该DAG是脊椎型的，即每个诱导子图的传递约化是一棵树。
• 所有DAG的无环重定向格均为同余正规格；当且仅当DAG是填充型时，该格为半分配格（因此也是同余一致格）。
• 该格为分配格当且仅当DAG是一棵树。
• 无环重定向格的 join-不可约元与绳索之间存在双射关系，且标准 join 表示由非交叉绳索图编码。
• 当格为半分配时，其同余关系与子绳索序中的下理想之间存在双射。
• 任何无环重定向格的同余商多面体均可作为绳索的晶片多面体的Minkowski和来构造。