[论文解读] The canonical complex of the weak order

Doriann Albertin, Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 1

一句话总结

本文引入了有限半分配格的典范复形，这是一个旗单纯复形，通过不相交的典范并与交表示编码区间。该复形在格商下表现良好，并通过半交叉弧双图式为排列的弱序提供了一个组合模型，给出了与弱序区间偏序集之间的显式双射，以及通过弧图式在商中对Kreweras映射的算法描述。

ABSTRACT

We define and study the canonical complex of a finite semidistributive lattice $L$. It is the simplicial complex on the join or meet irreducible elements of $L$ which encodes each interval of $L$ by recording the canonical join representation of its bottom element and the canonical meet representation of its top element. This complex behaves properly with respect to lattice quotients of $L$, in the sense that the canonical complex of a quotient of $L$ is the subcomplex of the canonical complex of $L$ induced by the join or meet irreducibles of $L$ uncontracted in the quotient. We then describe combinatorially the canonical complex of the weak order on permutations in terms of semi-crossing arc bidiagrams, formed by the superimposition of two non-crossing arc diagrams of N. Reading. We provide explicit direct bijections between the semi-crossing arc bidiagrams and the weak order interval posets of G. Ch\^atel, V. Pilaud and V. Pons. Finally, we provide an algorithm to describe the Kreweras maps in any lattice quotient of the weak order in terms of semi-crossing arc bidiagrams.

研究动机与目标

• 定义并研究有限半分配格的典范复形，该复形通过典范并与交表示编码所有区间。
• 证明格商的典范复形是原格中未压缩的并与交不可约元所生成的子复形。
• 使用半交叉弧双图式为排列的弱序的典范复形提供一个组合模型。
• 在半交叉弧双图式与弱序区间偏序集之间建立显式、直接的双射。
• 开发一种算法，通过半交叉弧双图式计算任意弱序商中的Kreweras映射。

提出的方法

• 将典范复形定义为顶点为并不可约元与交不可约元的不相交并的旗单纯复形，其单形由满足并-交序条件的典范并与交表示的不相交并构成。
• 利用格商理论证明商格的典范复形是原格中未压缩不可约元所生成的诱导子复形。
• 使用半交叉弧双图式对弱序的典范复形进行建模——即两组非交叉弧图式，且两组之间受限制的交叉。
• 通过基于弧的序关系与极值覆盖关系，在半交叉弧双图式与弱序区间偏序集之间建立直接双射。
• 应用子弧序与上理想来描述弱序的商，并利用弧上的弱序计算最小代表元。
• 开发一种算法，通过识别排除特定子集Y（由可分解弧导出）中弧的极大弧，来计算任意商中Kreweras映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一个单一的单纯复形中编码有限半分配格的所有区间，且该编码方式尊重格的商？
• RQ2 排列的弱序的典范复形的组合结构是什么？
• RQ3 半交叉弧双图式与Châtel、Pilaud与Pons定义的弱序区间偏序集之间有何关系？
• RQ4 能否通过弧图式算法化地计算任意弱序商中的Kreweras映射？
• RQ5 子弧序与上理想在以弧图式表征弱序商方面起什么作用？

主要发现

• 有限半分配格的典范复形是一个旗单纯复形，其单形通过典范并与交表示的不相交并对应于区间。
• 格商的典范复形同构于原格中未压缩的并与交不可约元所生成的诱导子复形。
• 弱序的典范复形在组合上由半交叉弧双图式建模——即两组非交叉弧图式，且两组之间受限制的交叉。
• 存在半交叉弧双图式与弱序区间偏序集之间的显式、直接双射，二者均对弱序中的区间进行分类。
• 任何弱序商中的Kreweras映射均可通过一种算法计算，该算法识别排除特定上理想中可分解为两个子弧的弧之外的极大弧。
• 该算法将经典非交叉划分上的Kreweras补全推广至任意弱序商，利用弧图式分解与极值覆盖关系。