[论文解读] Acylindrical hyperbolicity from actions on CAT(0) cube complexes: a few criteria

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过分析接触图和超平面的作用，为群在CAT(0)立方复形上的非一致弱双曲性建立了新准则。证明了在立方复形上非一致弱双曲性的作用会诱导出在接触图上的非一致双曲性作用，并通过超平面的斜穿对WPD收缩等距进行刻画。关键结果为：若一个群在有限维CAT(0)立方复形的超平面上本质地且双曲性地作用，则其存在一个有限指数子群，该子群要么是双曲性群，要么是循环群。

ABSTRACT

The question which motivates the article is the following: given a group acting on a CAT(0) cube complex, how can we prove that it is acylindrically hyperbolic? Keeping this goal in mind, we show a weak acylindricity of the action on the contact graph associated to a CAT(0) cube complex, and we prove a characterisation of WPD contracting isometries of CAT(0) cube complexes. As a first consequence, we find alternative arguments to show several criteria which were proved by Indira Chatterji and Alexandre Martin. Next, we show that if a group acts essentially and acylindrically on the hyperplanes (i.e., the intersection of the stabilisers of two hyperplanes which are sufficiently far away from each other has its cardinality uniformly bounded) on a finite-dimensional CAT(0) cube complex, then it contains a finite-index subgroup which is either acylindrically hyperbolic or cyclic. Finally, we prove a statement about codimension-one subgroups, which implies that, if a group contains a finitely generated codimension-one subgroup which is malnormal and which satisfies the bounded packing property, then this group must contain a finite-index subgroup which is either acylindrically hyperbolic or cyclic.

研究动机与目标

• 为证明群在CAT(0)立方复形上的双曲性建立新准则。
• 解决当点的稳定化子不足以控制近似稳定化子时，证明双曲性的挑战。
• 通过超平面的斜穿刻画CAT(0)立方复形中的WPD收缩等距。
• 建立群在超平面上的作用蕴含双曲性或有限指数子群虚拟循环性的条件。
• 推广并为特殊类群中双曲性的现有结果提供替代证明。

提出的方法

• 引入CAT(0)立方复形上非一致弱双曲性作用的概念，即远距离点的稳定化子交集为有限集。
• 证明此类作用会诱导出接触图上的非一致双曲性作用，接触图是与立方复形相关联的双曲空间。
• 将CAT(0)立方复形中的WPD收缩等距刻画为斜穿一对充分分离的超平面的等距。
• 利用余维一子群的有界打包性质与有限高度控制超平面稳定化子的交集。
• 应用群论中关于子群指数的引理，以界定远距离超平面稳定化子交集的大小。
• 推导稳定化子交集的有限性条件，以得出在超平面上的双曲性，并最终得出双曲性或虚拟循环性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，CAT(0)立方复形上的作用会诱导出其接触图上的双曲性作用？
• RQ2 在CAT(0)立方复形中，何时一个双曲等距是接触图作用下的WPD元素？
• RQ3 对超平面稳定化子施加何种条件可确保群作用在超平面上是双曲的？
• RQ4 能否证明一个在超平面上本质地且双曲性地作用的群的有限指数子群是双曲性群或循环群？
• RQ5 若存在一个具有有界打包性质的亚正规、有限生成余维一子群，是否可推出双曲性或虚拟循环性？

主要发现

• 在CAT(0)立方复形上的非一致弱双曲性作用会诱导出接触图上的非一致双曲性作用。
• 一个群元素是CAT(0)立方复形中的WPD收缩等距，当且仅当它斜穿一对充分分离的超平面。
• 若一个群在有限维CAT(0)立方复形的超平面上本质地且双曲性地作用，则其存在一个有限指数子群，该子群要么是双曲性群，要么是循环群。
• 若两超平面之间至少隔有 $ n \cdot \dim(X) $ 个其他超平面，则其稳定化子交集的大小被限制在 $ (M! \cdot \dim(X)!)^n \cdot N $ 以内，其中 $ M $ 限制了固定超平面稳定化子的指数，$ N $ 限制了超平面稳定化子的高度。
• 若一个群包含一个有限生成、亚正规的余维一子群且具有有界打包性质，则其存在一个有限指数子群，该子群要么是双曲性群，要么是循环群。
• 证明依赖于利用群论中关于对称群乘积中子群指数的引理，以控制稳定化子的交集。