[论文解读] Adaptive discontinuous Galerkin methods for nonlinear parabolic problems

Stephen Metcalfe|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 107被引用 8

一句话总结

该论文为非线性抛物问题的间断伽辽金（dG）方法开发了后验误差估计器和自适应算法，涵盖对流-扩散方程、常微分方程和偏微分方程中的爆破现象，以及非线性界面问题。主要贡献在于设计了时空自适应算法，实现了最优收敛率，并通过基于残量的误差估计器准确检测爆破时间与尖锐层结构。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of a posteriori error estimation and adaptivity in parabolic problems with a particular focus on spatial discontinuous Galerkin (dG) discretisations. We begin by deriving an a posteriori error estimator for a linear non-stationary convection-diffusion problem that is discretised with a backward Euler dG method. An adaptive algorithm is then proposed to utilise the error estimator. The effectiveness of both the error estimator and the proposed algorithm is shown through a series of numerical experiments. Moving on to nonlinear problems, we investigate the numerical approximation of blow-up. To begin this study, we first look at the numerical approximation of blow-up in nonlinear ODEs through standard time stepping schemes. We then derive an a posteriori error estimator for an implicit-explicit (IMEX) dG discretisation of a semilinear parabolic PDE with quadratic nonlinearity. An adaptive algorithm is proposed that uses the error estimator to approach the blow-up time. The adaptive algorithm is then applied in a series of test cases to gauge the effectiveness of the error estimator. Finally, we consider the adaptive numerical approximation of a nonlinear interface problem that is used to model the mass transfer of solutes through semi-permiable membranes. An a posteriori error estimator is proposed for the IMEX dG discretisation of the model and its effectiveness tested through a series of numerical experiments.

研究动机与目标

• 为线性非定常对流-扩散问题的后向欧拉间断伽辽金格式开发后验误差估计器。
• 设计利用这些估计器的自适应算法，以高效解析对流主导问题中的边界层和内部层。
• 将该框架扩展至非线性问题，特别是常微分方程和半线性抛物型PDE中表现出有限时间爆破的问题。
• 构建并验证用于模拟溶质通过半透膜传输的非线性界面问题的后验误差估计器。
• 展示自适应算法在实现最优收敛率的同时，有效解析尖锐层并逼近爆破时间的性能。

提出的方法

• 针对线性非定常对流-扩散方程，基于dG空间离散化与后向欧拉时间推进，推导了后向欧拉dG方法的后验误差估计器。
• 提出一种自适应算法，利用误差估计器根据局部误差指标动态优化空间与时间网格的精度。
• 将相同的自适应框架应用于具有二次非线性的半线性抛物型PDE，采用IMEX dG格式以处理刚性问题。
• 在爆破问题背景下，为IMEX dG方法开发了基于残量的后验误差估计器，并通过Gronwall型不等式推导误差界。
• 提出一种新颖的自适应算法用于界面问题，可在不增加非活跃区域精度的前提下检测并解析界面层。
• 通过数值实验验证了空间与时间误差估计器的最优收敛率，并展示了在爆破检测中的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为线性抛物问题的后向欧拉dG格式推导出具有最优收敛率的基于残量的后验误差估计器？
• RQ2 如何通过误差估计器有效驱动自适应网格与时间步长的优化，以解析边界层与内部层？
• RQ3 后验误差估计与自适应算法能否扩展至检测与逼近非线性常微分方程与半线性PDE中的爆破时间？
• RQ4 在具有不连续系数的非线性界面问题中，误差估计器在捕捉尖锐界面层方面的表现如何？
• RQ5 自适应算法能否在保持低解活动区域自由度最小化的同时实现最优收敛率？

主要发现

• 在自适应加密下，线性对流-扩散问题的后验误差估计器表现出最优的空间与时间收敛率。
• 自适应算法成功解析了边界层与内部层，所有测试案例中的空间与时间效度指数均接近1。
• 在常微分方程的爆破问题中，基于误差估计器的自适应算法以最优阶收敛至爆破时间，数值实验中λ的收敛率得到验证。
• 在具有二次非线性的半线性抛物型PDE中，IMEX dG方法的误差估计器能够准确逼近爆破时间，自适应网格在爆破区域附近集中加密。
• 界面问题的误差估计器成功检测并解析了界面层，图6.3中观察到最优的空间与时间收敛率，且网格在界面另一侧避免了过度加密。
• 误差估计器的常数通过Gronwall不等式依赖于ε⁻¹，提示在对流主导区域需改进分析以降低此指数依赖。