[论文解读] Adding successor: A transfer theorem for separation and covering

Thomas Place, Marc Zeitoun|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文提出一个转移定理，将一阶逻辑扩展 successor 关系 (+1) 后的分离与覆盖问题，还原为原始逻辑中的相同问题。通过利用闭包性质和词结构上的同态映射，证明了若某类 𝒞 的分离与覆盖问题可判定，则其 SU 扩展 𝒞∘SU（其中 SU 添加 successor、min、max 和空字谓词）的分离与覆盖问题也可判定。关键结果是一个适用于有限与无限词的通用还原方法。

ABSTRACT

Given a class C of word languages, the C-separation problem asks for an algorithm that, given as input two regular languages, decides whether there exists a third language in C containing the first language, while being disjoint from the second. Separation is usually investigated as a means to obtain a deep understanding of the class C. In the paper, we are mainly interested in classes defined by logical formalisms. Such classes are often built on top of each other: given some logic, one builds a stronger one by adding new predicates to its signature. A natural construction is to enrich a logic with the successor relation. In this paper, we present a transfer result applying to this construction: we show that for suitable logically defined classes, separation for the logic enriched with the successor relation reduces to separation for the original logic. Our theorem also applies to a problem that is stronger than separation: covering. Moreover, we actually present two reductions: one for languages of finite words and the other for languages of infinite words.

研究动机与目标

• 开发一种通用的还原技术，将逻辑 𝒞 的分离与覆盖问题的可判定性，转移到其 successor 扩展形式 𝒞∘SU。
• 通过聚焦于更强的问题——分离与覆盖，解决标准成员关系方法在理解复杂逻辑片段时的不足。
• 将已知的关于 FO²(<)、Σₙ(<) 和 ℬΣₙ(<) 等片段的可判定性结果，扩展到其 successor 增强版本，如 FO²(<,+1) 和 Σₙ(<,+1)。
• 为有限与无限词提供统一的框架，使用代数与逻辑工具（如同态映射与等价关系）。
• 证明多个新逻辑片段的分离与覆盖问题可判定，包括 Σ₁(<,+1)、ℬΣ₁(<,+1)、Σ₂(<,+1)、ℬΣ₂(<,+1) 和 Σ₃(<,+1)，其中先前结果未知或依赖复杂组合证明。

提出的方法

• 本文引入一种称为 SU 扩展的构造，将语言类 𝒞 扩展为包含 successor 关系 (+1)、最小值、最大值和空字谓词。
• 定义一个同态映射 η 从自由幺半群 A*（或 A^ω）到结构 𝔸_α，以编码位置的 successor 信息，从而实现词结构的提升。
• 利用与 successor 符号 SU₂ₖ 相关的规范等价关系 ∼₂ₖ，构造 A* 的 ∼₂ₖ-类的划分 P，以定义商结构。
• 证明依赖于将同态映射 β: (P×A)* → 𝔸_α* 提升，使得 β(τ_P(w)) = η(w)，从而实现在结构间传递语言。
• 通过在逆像下保持闭包性与提升性质，证明当 K ∈ 𝒞(𝔸_α) 时，有 η⁻¹(K) ∈ (𝒞∘SU₂ₖ)(A)。
• 分别对有限词与无限词应用该还原方法，其中无限词情形因无右边界而简化了同态构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将扩展 successor 关系的逻辑的分离与覆盖问题，还原为原始逻辑中的相同问题？
• RQ2 当基逻辑可判定时，向逻辑片段添加 successor、min、max 和 ε 谓词，是否保持分离与覆盖问题的可判定性？
• RQ3 是否存在一种统一的、通用的方法，将可判定性结果从类 𝒞 转移到其 SU 扩展 𝒞∘SU，适用于有限与无限词？
• RQ4 该转移定理能否应用于一阶逻辑的显著片段（如 FO²(<)、Σₙ(<) 和 ℬΣₙ(<)），以获得新的可判定性结果？
• RQ5 在何种逻辑与代数条件下可实现此类转移，特别是关于闭包性质与同态映射提升的条件？

主要发现

• 本文证明了 FO²(<,+1) 的分离与覆盖问题可判定，该结果此前未知，且无法通过标准成员关系技术获得。
• 证明了 Σ₁(<,+1)、ℬΣ₁(<,+1)、Σ₂(<,+1)、ℬΣ₂(<,+1) 和 Σ₃(<,+1) 的可判定性，扩展了已知结果，并简化了复杂的组合证明。
• 转移定理将 SU 扩展的分离与覆盖问题还原为基逻辑问题，前提是类 𝒞 满足适当的闭包性质。
• 该方法在有限与无限词上统一适用，其中无限词情形因无右边界而简化了同态构造。
• 该还原是有效的：给定 𝒞 中分离或覆盖问题的决策过程，可构造出 𝒞∘SU 的决策过程，从而系统性地扩展已知结果。
• 该框架提供了一种分析逻辑片段表达力的新通用方法，将关注点从成员关系转向更具信息量的分离与覆盖问题。